Руками не потрогать Компьютер помог превратить бублик в экзотический фрактал

Группе французских ученых под названием Hevea впервые удалось визуализировать загадочный математический объект под названием изометричное вложение двумерного тора в трехмерное пространство. Помимо красивой картинки, новый результат продемонстрировал, что целый класс дифференциальных уравнений, ранее считавшихся недоступными для расчетов на компьютере, может быть решен с помощью существующих вычислительных машин. Полученное вложение ученые назвали C¹-фракталом.

Изометричное вложение в трехмерное пространство

В 1853 году на тот момент уже великий математик Карл Гаусс предложил своему 27-летнему ученику Георгу Фридерику Бернхарду Риману написать работу, посвященную основам геометрии. На тот момент эта тема была, как сказали бы сейчас, в тренде. Перед Риманом встала масштабная задача: собрать и систематизировать разрозненные результаты, которых к 50-м годам позапрошлого века скопилось не так уж и мало - одной только легендарной работе Лобачевского о пятом постулате Евклида (кстати, очень любимой и ценимой Гауссом) на тот момент исполнилось 30 лет.

Уже через год, в 1854 году, Риман представил на суд публики свой труд Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegеn ("О гипотезах, лежащих в основании геометрии"). В этом труде Риману удалось сформулировать понятие многомерной поверхности (или, как говорят сейчас, многообразия), а также понятия метрики - набора чисел в каждой точке такой поверхности, возможно меняющегося от точки к точке, которые характеризуют ее геометрию. Среди прочего, метрика позволяет скалярно перемножать вектора, "торчащие" в одной точке пространства, а также в некотором смысле очень естественно считать длины кривых, соединяющих точки поверхности (кстати, именно риманова геометрия является математическим аппаратом теории относительности).

Риман так писал о собственных результатах: "Допущения, о которых идет речь, не являются (как и всякие допущения) необходимыми; достоверность их носит эмпирический характер; они - не что иное, как гипотезы. Их правдоподобие (которое, как бы то ни было, очень значительно в пределах наблюдения) надлежит подвергнуть исследованию и затем судить о том, могут ли они быть распространены за пределы наблюдения как в сторону большого, так и в сторону неизмеримо малого".

Опасения великого математика понятны - выбранный им подход кажется на первый взгляд довольно избыточным: какие-то абстрактные многообразия с непонятно какой геометрией. При этом есть вполне себе естественные "поверхности" - n-мерные пространства со стандартным скалярным умножением векторов (матрица Грама этого умножения, не меняющаяся от точки к точке, и есть метрика, а сами такие пространства называют евклидовыми), для которых ничего дополнительно определять не надо. В каждом таком пространстве есть поверхности размерностей от 1 (кривые) до n-1 (гиперповерхности), на которых тоже можно умножать "торчащие" из одной точки вектора и считать длины кривых - ведь у нас есть в объемлющем пространстве вполне пригодное для таких нужд скалярное произведение.

Отметим, что мы рассматриваем только поверхности, у которых нет изломов и острых концов (как, например, у цилиндра). Это эквивалентно тому, что в каждой точке поверхности есть касательная плоскость. С точки зрения математики, такие поверхности называются C¹-многообразиями.

В течение примерно 100 лет математиков мучил вопрос: есть ли абстрактные римановы многообразия, которые отличаются от таких поверхностей? В 1954 году Николас Кейпер и Джон Нэш (кстати, большинство геометрических заслуг Нэша в кинофильме "Игры разума" было проигнорировано, чтобы, вероятно, не смущать зрителя сложностью результатов) опубликовали работу, в которой доказали, что поверхностей существует не меньше, чем римановых многообразий. Если быть точным, то абстрактное риманово многообразие может быть реализовано как поверхность в пространстве достаточно большой размерности так, что длины любой кривой между любыми двумя точками, посчитанные в смысле внутренней римановой метрики и в смысле метрики окружающего пространства, совпадают. Такая реализация называется изометрическим вложением многообразия в риманово пространство.

Надо сказать, что Нэшу и Кейперу удалось вывести во многом совершенно противоестественный результат: оказывается, всякое риманово многообразие можно вложить в сколь угодно маленький шар. Это означает, например, что многообразие, на котором расстояния между точками составляют, скажем, сотни тысяч километров, можно реализовать в виде очень сильно запутанной поверхности в шаре миллиметрового радиуса. Как следовало из доказательства математиков, сделать это можно, достаточно сильно "измяв" многообразие.

Как конкретно будем строить?

Проблема с доказательством Нэша и Кейпера заключалась в том, что оно не было конструктивным. Это означает, что ученые доказывали существование некоторого объекта, не предъявляя метода для его непосредственного построения. В некотором смысле такое происходит сплошь и рядом - скажем, если в вагоне метро у вас вытащили кошелек (установить отсутствие кошелька в кармане достаточно просто), это означает, что в вагоне находится вор, но кто из десятков пассажиров конкретно им является, останется неясным.

В 70-80-е годы прошлого века математик российского происхождения Михаил Громов занялся обобщением результатов Нэша и Кейпера. Дело в том, что в оригинальном доказательстве по сути устанавливалось существование решения у некоторой системы дифференциальных уравнений в частных производных. Громов решил обобщить подход Нэша и Кейпера к другим системам дифференциальных уравнений, и у него это получилось. Более того, созданный им метод - получивший название выпуклого интегрирования - оказался применим к широкому классу систем и даже неравенств. Этот метод очень пригодился математикам, чтобы, среди прочего, визуализировать знаменитый результат Смейла о том, что в трехмерном пространстве сферу можно вывернуть наизнанку.

Группе французских ученых под названием Hevea, куда входят Францис Лазарус, Саид Жабран, Борис Тибер, Дэмиен Ромер и Винсент Борелли, впервые удалось реализовать метод Громова на практике (надо сказать, что многие специалисты относились к возможности такой реализации метода Громова довольно скептически). Они создали алгоритм, который позволяет численно "выпукло интегрировать", то есть находить решения соответствующих уравнений с заданной точностью. Чтобы доказать работоспособность своего подхода, ученые обратились к классической задаче: они решили построить изометрическое вложение двумерного тора в трехмерное пространство.

Плоский тор и его вложение

Чтобы понять, что такое плоский тор, представим себе квадрат на плоскости. Будем считать, что противоположные стороны у квадрата отождествлены. Это означает, что всякий двумерный объект на этом квадрате, заезжая за один край, выезжает из противоположного (любители классических игр помнят, что в "Астероидах" именно так летали астероиды). Чтобы понять, что это тор, склеим два края квадрата - получим цилиндр. Теперь склеим края цилиндра и получим привычный всем бублик.

При этом, если бы склеивания выполнялись в действительности, стало бы понятно, что из бумажного квадрата цилиндр получается довольно просто, а вот из цилиндра тор - уже нет. Это связано с тем, что в нашем квадрате отрезки, параллельные его сторонам, имеют одинаковую длину по горизонтали и по вертикали, в то время как на настоящем бублике параллели (например, на наружной стороне тора и на внутренней) имеют разные длины. Чтобы сделать из бумажного цилиндра тор, его придется смять, появятся изломы, острые края, то есть поверхность не будет C¹-многообразием.

В рамках работы, опубликованной в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences, французские ученые предложили действовать следующим способом. Сначала они взяли обычный тор в трехмерном пространстве, а затем стали возмущать его так, что длины одних параллелей увеличивались, а длины других - уменьшались. Возмущения были разбиты на последовательность шагов, пределом которых и должно было стать нужное вложение.

При этом в пределе получается объект, у которого в каждой точке есть касательная плоскость, однако по построению он напоминает фрактал. Эти объекты ученые назвали C¹-фракталами. По их словам, эти фракталы могут представлять интерес для математиков-теоретиков.

Вместо заключения

Построение изометрического вложения плоского тора интересно, конечно, и само по себе - возвращаясь к аналогии с кражей кошелька, всегда приятно узнать, кто же все-таки оказался вором. Вместе с тем, первая работа, скорее всего, является всего лишь первой ласточкой: теперь, когда французы доказали практическую реализуемость метода выпуклого интегрирования, он привлечет внимание специалистов по вычислительной математике по всему миру. Кто знает, может, и у них получатся такие же красивые картинки.