Во многом случайное доказательство Абелевскую премию дали за алгебраическую геометрию

Днем 20 марта 2013 года стало известно, что Абелевскую премию — престижнейшую награду в мире математики — в 2013 году получил Пьер Делинь с формулировкой «за вклад в алгебраическую геометрию, который оказал существенное воздействие на теорию чисел, теорию представлений и смежные области». Заранее имена лауреатов премии не разглашаются, но сомнений в том, что Делинь (к слову, обладатель множества престижнейших наград, в том числе и Филдсовской медали) рано или поздно получит Абелевскую премию, не было. Делинь стал 13-м лауреатом награды, денежная составляющая которой равна 800 тысячам евро.

Церемония объявления лауреатов транслировалась в интернете. Сразу после того, как имя победителя было объявлено, слово предоставили профессору Тимоти Гауэрсу, который по традиции должен был прочитать небольшую лекцию, посвященную достижениям лауреата. Он начал свое выступление так: «Это уже третий раз, когда мне предоставлена честь выступить с популярной лекцией о лауреате Абелевской премии, лекцией, предназначенной для самой широкой аудитории. В этом году передо мной стоит наиболее сложная задача. Два года назад, когда я рассказывал о Джоне Милноре, я пользовался картинками, ведь Милнор — автор работ по геометрии. В прошлом году, когда премия досталась Андре Семереди, я без труда излагал доказанные им утверждения — ведь они (эти утверждения) формулировались в достаточно простых терминах (притом что их доказательства, конечно, были крайне сложны). Несмотря на то что в работах Делиня есть геометрическая составляющая, ее так просто не проиллюстрируешь. С другой стороны, и сами его утверждения формулируются в очень непростых терминах».

Трудно было бы сказать лучше: алгебраическая геометрия даже среди математиков считается крайне сложной наукой с совершенно обособленной лексикой. Тем не менее, ниже речь пойдет именно о ней. Причем это потому, что популярно изложить другие результаты Делиня, отмеченные Норвежской академией наук (а именно создание теории стеков Делиня-Мамфорда и работы по монодромии), — задача еще более неподъемная. Кроме того, главное достижение лауреата 2013 года — доказательство гипотез Вейля — тесно связано с другими областями математики, о которых в некотором смысле говорить проще. Правда, сразу же предупредим читателя, что цель этого текста — лишь в общих чертах объяснить условие задачи, то есть результаты, которых добился Делинь. Даже намеки на примерную схему его решения из-за неподъемности мы оставляем за кадром.

Гипотеза Рамануджана и тау-функция

Начнем мы со школьной задачи по комбинаторике, которая, казалось бы, никак не связана с геометрией. У людоеда, который неожиданно решил стать вегетарианцем, в подвале томятся 27 пленников. Людоед решает отпустить пленников, но планирует делать это так: каждый день отпускать троих. Сколько есть способов выбрать первую тройку счастливчиков? Ответ хорошо известен — это так называемое число сочетаний из 27 по 3. В общем виде формула для количества способов выбрать k элементов из n-элементного множества имеет вид n!/(k! (n - k)!), где n! означает «факториал числа n», то есть произведение всех целых чисел от 1 до n. В предыдущей задаче в этой формуле k = 3, а n = 27 (ответ, если интересно, будет равен 2925).

Если зафиксировать n, то полученную формулу можно рассматривать как формулу, задающую функцию f от k. Для k > n эту функцию можно доопределить нулем: действительно, в условии первоначальной задачи взять 28 из 27 узников не получится. Значения нашей функции обладают следующим занятным свойством: в выражении (1 + q)ⁿ — это бином Ньютона — соответствующее f(k) будет просто коэффициентом при k-ой степени переменной q. В некотором смысле бином несет всю нужную нам информацию о f(k). Такой объект называется производящей функцией последовательности и с середины XVIII века используется в математике сплошь и рядом — от теории чисел до теории вероятностей.

Тау-функцию, о которой идет речь в заголовке этого раздела, тоже удобно задавать производящей функцией. Она выглядит, конечно, несколько сложнее:

Знак П означает произведение, а значок «бесконечно» сверху указывает, что рассматривается произведение бесконечного числа множителей. Каждый множитель — бином Ньютона для n = 24, причем это число выбрано не случайно и связано с очень симметричной решеткой в 24-мерном пространстве, известной как решетка Лича. В бесконечном количестве множителей в формуле нет ничего страшного. Легко понять, что если начать вычислять произведение, то при каждой степени переменной q будет стоять конечное число. Это связано с тем фактом, что показатель при этой степени линейно растет, а значит, в формировании коэффициента, скажем, при q⁵³ будет участвовать не более чем конечное число коэффициентов, в частности, они содержатся среди коэффициентов первых 53-х скобок. Таким образом, запись можно считать удобной формальностью. Первые несколько значений тау-функции таковы: τ(1) = 1, τ(2) = −24, τ(3) = 252.

Тау-функция активно используется в теории чисел. Дело в том, что ответы на многие вопросы в этой науке дать в точных терминах невозможно, поэтому математики ограничиваются разного рода оценками. Так вот, во многих оценках естественным образом возникает тау-функция. Впервые она появилась в работе Шриниваса Рамануджана в 1916 году. Тогда же Рамануджан обнаружил у нее ряд свойств, три из которых не смог доказать. Два из трех были доказаны всего спустя год, а вот третье, получившее название гипотезы Рамануджана, продержалось до 70-х годов прошлого века. Эта гипотеза утверждала, что модуль τ(p) для любого простого p не превосходит 2p^5,5. В 1971 году Делинь показал, что истинность гипотезы Рамануджана (на самом деле — чуть более общего утверждения, известного как гипотеза Рамануджана-Петерссона) следует из гипотез Вейля.

Гипотезы Вейля

Прежде чем говорить о гипотезах Вейля, необходимо объяснить, что такое конечные поля. Полем в математике называется множество с набором операций (обычно их обозначают сложением и умножением), обладающих определенным свойством. Простейший пример поля — это множество действительных чисел. Во-первых, элементы этого множества можно складывать, причем сложение ассоциативно (то есть p + (q + r) = (p + q) + r); коммутативно (от перемены мест слагаемых сумма не меняется); есть нейтральный элемент, называемый нулем (нейтральный, то есть его сумма с любым числом дает это же число), и для каждого элемента q определен обратный -q, сумма с которым дает нейтральный элемент. Во-вторых, элементы этого множества можно умножать, причем умножение также ассоциативно, коммутативно, обладает нейтральным элементом (единица) и для каждого ненулевого q определен обратный элемент 1/q, произведение с которым дает нейтральный элемент, то есть единицу. Сложение и умножение связаны так называемым дистрибутивным законом p (q + r) = pq + pr.

Оказывается, что таким набором свойств обладают многие другие множества, простейшим из которых является множество остатков при делении на какое-нибудь простое число, скажем, на 5. Обозначим эти остатки 0, 1, 2, 3, 4. Их удобно представлять себе записанными по кругу. Если нужно сложить два числа, скажем, 4 и 3, то нужно по этому кругу просто отсчитать от четырех три шага. Легко проверить, что в таком случае 4 + 3 = 2. Оказывается, такое сложение ассоциативно и коммутативно. Нейтральным элементом в таком множестве будет 0, и для каждого элемента имеется обратный (например, для 4 это 1, а для 3 это 2). Сложнее показать, что для умножения тоже выполняются все заявленные свойства.

Полученное таким образом поле называют полем вычетов по модулю 5 и обозначают F₅. Нужно отметить, что для каждого простого числа p и натурального k существует ровно одно поле, в котором p^k элементов.

Такого рода объекты находят применение, например, в криптографии, квантовой механике, функциональном анализе и теории Галуа. Вообще над такими полями можно строить полноценную геометрию, записывая уравнения «кривых», «поверхностей», и — решая эти уравнения — находить точки, которые принадлежат той или иной поверхности. В этом и заключается причина невероятной мощи алгебраической геометрии — она дает возможность выработать единый подход к проблемам из, казалось бы, совершенно разных областей математики, часто позволяя использовать скрытую геометрию задачи, которую никаким другим образом обнаружить невозможно.

Самая естественная характеристика поверхности над полем — это количество ее решений (так как поля конечны, то таких решений также не более чем конечное число), то есть количество точек в поверхности. Для каждого k при фиксированном p можно определить, как уже говорилось выше, поле из p^k элементов. Количество точек в поверхности, задаваемой системой уравнений (многочленов с целыми коэффициентами), обозначим через a_k. Будем увеличивать k, оставляя систему уравнений неизменной. Для получившейся последовательности можно определить так называемую зета-функцию (в подробности о том, почему она задается именно такой формулой, мы вдаваться не будем).

Вместо заключения

Именно их и доказал в 1974 году Пьер Делинь. Это доказательство стало результатом синтеза множества разрозненных результатов (в том числе и его непосредственного учителя Александра Гротендика) из самых разных областей. В телефонном интервью сразу после вручения награды Делинь признался, что его доказательство во многом случайно — так получилось, что математическое любопытство заводило его в такие области, где, по идее, ему быть не следовало.

Есть вероятность, что читатель мог не справиться с изложенной здесь математикой. Однако ему не стоит себя корить: как говорилось выше, алгебраическая геометрия — темный лес и для многих серьезных математиков. Как бы то ни было, важно понимать, что Пьеру Делиню дали премию заслуженно, за большое дело. Вы пока поверьте, а поймете потом.