Японский математик Синити Мотидзуки (Shinichi Mochizuki) заявил о доказательстве знаменитой ABC-гипотезы, считающейся одним из ключевых утверждений в теории чисел. Свое доказательство он изложил в серии из четырех работ (1, 2, 3 и 4), краткое изложение которых приводит Nature News.
Работы были выложены в интернет еще в августе, однако, только сейчас появились первые комментарии, касающиеся представленного доказательства. По словам ученых, им пока не удалось обнаружить очевидных пробелов в доказательстве.
В общей сложности четыре работы занимают свыше 500 страниц. Подобный объем объясняется тем, что для доказательства гипотезы Мотидзуки построил новую теорию, которую назвал арифметической версией теории пространств Тейхмюллера.
Как следствие, проведенная работа может оказаться полезна при изучении многих других сложных математических объектов и задач (например, с помощью новой теории можно доказать гипотезу Шпиро). Примечательно, что в работе Мотидзуки частично используются объекты, которые использовал Эндрю Уайлс при доказательстве Великой теоремы Ферма.
Для формулировки ABC-гипотезы требуется понятие радикала. Радикалом rad натурального числа N называется число, которое представляет собой произведение всех различных простых (простым называется отличное от единицы число, которое делится только на себя и на единицу) делителей числа N. Например, rad(15) = 15 потому, что у этого числа простые делители 3 и 5, а rad(18) = 6, так как простых делителей у числа 18 ровно два - это 3 и 2.
ABC-гипотеза утверждает, что для любого действительного числа r > 1 существует не более конечного числа троек натуральных чисел a, b, c таких, что для них выполнены одновременно три условия: a + b = c; a, b и c взаимно просты в совокупности (то есть у них нет общих делителей); c > rad (abc)r.
По словам Дориана Голдфилда из Колумбийского университета, которые приводит Nature News, если доказательство Мотидзуки окажется верным, то из него будет немедленно вытекать и упоминавшаяся выше Великая теорема Ферма.