В профильном ЕГЭ по математике в 2024 году было три задания по геометрии. В итоговом испытании запросто может попасться задача на вычисление площадей геометрических фигур. «Лента.ру» рассказывает, как найти площадь треугольника, какие формулы понадобятся, как их использовать.
Треугольники — геометрические фигуры, образованные тремя точками и отрезками, их соединяющими.
«Треугольники классифицируют по двум признакам: по углам и по соотношению сторон», — рассказал «Ленте.ру» преподаватель физики и математики, научный сотрудник лаборатории лазерных полей в НИЦ «Курчатовский институт» Валерий Тепляков.
Виды треугольников по углам:
Виды треугольников по соотношению между сторонами:
Площадь треугольника — это численная мера того, какую часть плоскости занимает эта фигура. Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы.
Формула площади треугольника — это математическое выражение, с помощью которого можно вычислить площадь этой фигуры.
В задачах по геометрии встречаются различные единицы измерения площади треугольника:
Переход между ними осуществляется, к примеру, так:
1м² = 1м * 1м = 100см * 100см = 10 000 см²
Для того чтобы вычислить таким образом площадь треугольника, нужно знать длину основания и высоты, проведенной к этому основанию.
S — площадь треугольника
a — длина основания треугольника
h — высота треугольника
Например, если треугольник имеет высоту 10 сантиметров, а основание 12 сантиметров, то площадь фигуры будет:
S = 0,5 * 10 * 15 = 75 см².
S — площадь
a и b — стороны треугольника
α — угол между сторонами
Например, в треугольнике одна сторона составляет 5 сантиметров, вторая — 8 сантиметров, а синус угла между ними — 0,7. Получается, что площадь фигуры будет:
S = 0,5 * 5 * 8 * 0,7 = 14 см².
Можно найти площадь любого треугольника через радиус описанной окружности и длину сторон фигуры.
Описанная окружность — это такая окружность, которая проходит через все вершины нужного нам треугольника, поясняет Валерий Тепляков.
S — площадь
a, b и c — стороны треугольника
R — радиус описанной окружности
Например, если в треугольнике стороны равны 5, 6 и 4 сантиметров, а радиус описанной окружности составляет 3 сантиметра, то площадь фигуры будет:
S = (5 * 6 * 4) / (4 * 3) = 10 см².
Для этой формулы нужно знать длину сторон треугольника и радиус вписанной окружности.
S — площадь
r — радиус вписанной окружности
a, b и c — стороны треугольника.
Например, если в треугольнике длина сторон составляет 2, 3 и 4 сантиметра, а радиус вписанной окружности — 2 сантиметра, то площадь фигуры будет:
S = 2 * (2 + 3 + 4) / 2 = 9 см².
Для этой формулы нужно знать длину одной стороны треугольника и значения синусов двух углов, прилежащих к этой стороне.
S — площадь
a — сторона треугольника
α и β — углы, прилежащие к этой стороне
Например, дан треугольник со стороной 3 сантиметра и двумя прилежащими углами по 60 градусов. Выясняем, что синусы этих углов — 0,86. А синус суммы углов, то есть 120 градусов — 0,87. Получается:
S = 3² * (0,86 * 0,86) / 2 * 0,87 = 3,83 см².
Древнегреческий ученый Герон предложил вычислять площадь треугольника по трем сторонам.
S — площадь
a, b и c — стороны фигуры
p — полупериметр треугольника (периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, а полупериметр — ровно половина этой суммы); p можно найти по формуле: (a + b + c) / 2
Например, если стороны треугольника равны 3, 4 и 5 сантиметрам, то полупериметр будет равен 6 сантиметров. Теперь можно посчитать площадь треугольника:
√ (6 х (6 – 3) * (6 – 4) * (6 – 5)) = 6 см².
Это одна из самых простых формул, ее изучают в начальной школе. Площадь треугольника равна половине произведения длины катетов — сторон, образующих прямой угол в прямоугольном треугольнике.
S — площадь треугольников
a — первая сторона (катет)
b — вторая сторона (катет)
Например, возьмем прямоугольный треугольник со сторонами 10 и 15 сантиметров. Его площадь считаем по формуле: S = 0,5 * a * b, получаем:
S = 0,5 * 10 * 15 = 75 см².
Гипотенуза — это сторона прямоугольного треугольника, находящаяся напротив прямого угла.
S — площадь
a — гипотенуза
α — один из прилегающих к гипотенузе острых углов
Например, если длина гипотенузы составляет 5 сантиметров, а угол — 70 градусов, то площадь треугольника будет:
S = 0,25 * 5² * sin(2 * 70) = 0,25 * 25 * 0,64 = 4 см².
В этой формуле нам понадобится знать значение одного из катетов, а также тангенс прилегающего к нему угла.
S — площадь
b — длина катета
α — прилежащий к катету угол
Например, если мы катет треугольника равен 4 сантиметрам, а прилежащий к нему угол составляет 45 градусов, то площадь будет:
S = 0,5 * 4² * 1 = 8 см².
В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. Кроме того, центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Для нахождения площади треугольника нам понадобится только радиус окружности, описанной вокруг фигуры.
S — площадь
R — радиус описанной окружности
Например, если радиус описанной окружности равнобедренного треугольника составляет 10 сантиметров, то его площадь будет:
S = (3 * √3 * 10²) / 4 = 12,97 см².
На этот случай нет отдельной формулы, но можно воспользоваться тем фактом, что радиус вписанной в правильный треугольник окружности ровно в два раза меньше радиуса описанной окружности. А значит, зная радиус вписанной окружности, мы можем умножить его на два и подставить в предыдущую формулу.
r — радиус вписанной окружности
S — площадь треугольника
Например, если радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника составляет 3 сантиметра, то радиус описанной будет 6 сантиметров. Подставляем это значение в формулу:
S = (3 х √3 * 6²) / 4 = 7,8 см².
В сети есть множество онлайн-калькуляторов для вычисления площади треугольников. Они чаще всего бесплатные. И для пользования калькуляторами нужны лишь некоторые данные о самих треугольниках или об окружностях, относящихся к этим треугольникам.