По ту сторону математики

Скончался Бенуа Мандельброт, подаривший миру фракталы

Бенуа Мандельброт. Фото с сайта math.yale.edu

14 октября 2010 года скончался Бенуа Мандельброт - человек, подаривший миру фрактальную геометрию. Он умер от рака в обычном хосписе в городе Кембридж, штат Массачусетс, в возрасте 85 лет. Мировые агентства сообщили об этом только спустя три дня - 17 октября 2010 года.

Бенуа Мандельброт родился в Польше 20 ноября 1924 года. Математикой его заинтересовали его дяди, один из которых был известным французским ученым. Скрываясь от нацистов, семья Мандельбротов в 30-х годах прошлого века перебралась во Францию. Здесь Бенуа начал всерьез заниматься математикой. В 40-е он уже работал с легендарными Гастоном Жулиа и Паулем Леви, а в 1952 году защитил кандидатскую диссертацию.

С самого начала своей научной карьеры Бенуа Мандельброт не ограничивался только теоретической математикой - его всячески интересовали различные приложения изучаемых им теорий. В результате ему удалось оставить свой след в физике, аэродинамике и теории финансов.

В 1958 году ученый начал работать в компании IBM. Именно здесь, используя для визуализации вычислений компьютеры, он написал самое известное свое произведение - книгу "Фрактальная геометрия природы". В этом скорее научно-популярном труде Мандельброт собрал самоподобные структуры из самых разных разделов математики, снабдив их описание богатыми иллюстрациями. Эти структуры, многие из которых на момент написания книги были известны чуть ли не около столетия, Бенуа назвал фракталами, чтобы с их помощью дать описание береговой линии, облаков и прочих всем привычных объектов.

Дырявый треугольник

Треугольник Серпинского
Треугольник Серпинского

Что же такое фрактал? Так как строгого математического определения для этого объекта, вообще говоря, не существует, то удобно будет начать объяснение с примера.

В 1916 году польский математик Вацлав Серпинский опубликовал работу, в которой предложил следующую геометрическую конструкцию. На первом этапе автор брал равносторонний треугольник и выкидывал из него треугольник, полученный путем соединения середин сторон исходного. Получалась фигура, составленная из трех треугольников, площадь каждого из которых составляла четверть от площади исходного треугольника. На втором этапе аналогичная операция проделывалась с оставшимися треугольниками.

Продолжая действовать по этой схеме, Серпинский получил последовательность фигур, пределом которой является очень "дырявый" треугольник. Это и есть фрактал, получивший название треугольника Серпинского. Данный объект обладает рядом удивительных свойств. Например, его площадь (мера Лебега, если быть точным) равна нулю, а отдельные куски, будучи увеличенными, оказываются такими же, как исходная фигура.

Последнее свойство - самоподобие - часто берут за основу определения фрактала. То есть фрактал - это фигура, обладающая некоторой степенью самоподобия. Другим, более экзотическим, является определение фрактала как топологического пространства дробной хаусдорфовой размерности. Например, размерность треугольника Серпинского равна log 3/log 2, то есть не является целым числом.

Множество Мандельброта

Множество Мандельброта
Множество Мандельброта

Вместе с тем треугольник Серпинского, как и большинство классических фракталов, плохо поддается визуализации. Максимум, чего можно добиться от этой конструкции - нарисовать несколько фигур, входящих в последовательность.

Понимал это и Бенуа Мандельброт, поэтому и стал искать для своей книги другие фракталы. Бенуа повезло и главную звезду своей книги, позже получившую имя "множество Мандельброта", он обнаружил в работах своего учителя Жулиа.

Для того чтобы понять, что иллюстрирует множество Мандельброта, нам потребуются комплексные числа. Через i будем обозначать мнимую единицу, обладающей свойством i2 = -1. Комплексным числом называется выражение вида a + i b. Эти числа можно складывать (как многочлены), умножать (раскрывая скобки по правилу умножения многочленов с учетом тождества i2 = -1), делить, извлекать корни и так далее - в общем, делать все, что можно делать с обычными (действительными) числами.

Каждое комплексное число можно представлять себе точкой на плоскости, задаваемой координатами (a, b). В свою очередь, любая функция комплексной переменной, скажем, возведение в квадрат, задает отображение плоскости в себя - каждой точке-аргументу ставится в соответствие точка-значение функции на данном аргументе. Например, возведем число 1 + i в квадрат: (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 1 + 2i - 1 = 2i. Стало быть, если возведение в квадрат рассматривать в качестве отображения, то соответствующая первому числу точка (1, 1) переходит в точку (0, 2), соответствующую результату возведения в квадрат.

Оказывается, точек на плоскости недостаточно для изучения отображений, так как, например, функция 1/z в нуле не определена, то есть соответствующее отображение просто "не знает", куда переводить ноль. Поэтому плоскость дополняют одной бесконечной точкой, получая в результате сферу Римана.

Именно отображения сферы Римана в себя рассматривали Жулиа и Фату. Их интересовал вопрос, как ведет себя точка O с координатами (0, 0) при многократном применении к нему отображения? В качестве простейшего примера Мандельброт взял отображение f(z) = z2 + c, где c - некоторая постоянная. Если она равна нулю, ноль остается на месте. Если же c отлично от нуля, то судьба O, вообще говоря, не ясна - точка может начать "убегать" на бесконечность. Будем отмечать на плоскости такие точки c, что при этих значениях параметра точка O на бесконечность не убегает. Что это получится за множество? Оказывается, получится самоподобная фигура, устроенная довольно сложным образом.

Галерея фракталов
Галерея фракталов

Бенуа Мандельброт не удовлетворился описательным ответом, который содержался в работах Жулиа. Вместо этого он заставил компьютер нарисовать загадочный объект. Именно этот шаг, простой и естественный с точки зрения современного пользователя, произвел в 1977 году настоящий фурор. Сложные загадочные объекты, которые считались уделом сухой теории, на картинках оказались поистине завораживающими.

После "Фрактальной геометрии природы" Мандельброт выпустил еще много книг, в том числе и серьезных научных работ, стал лауреатом десятков престижнейших премий. Однако в сердцах тысяч людей по всему миру он останется тем первопроходцем, который открыл простым людям завораживающую красоту математики.

Обсудить
Наука и техника
 — 
13:52 21 февраля 2017
Александр Шестаков

«В развитии главное — масштаб цели»

Интервью с ректором ЮУрГУ Александром Шестаковым о науке, образовании и развитии
«Религиозность нашего социума сильно переоценена»
Почему передача Исаакиевского собора РПЦ стала проблемой для церкви и общества
Олег МихеевБанкрот-фронт
Как политики задолжали миллионы и вынуждены жить на 10 тысяч рублей в месяц
«У молодых вообще нет собственной позиции»
Почему современные студенты инфантильны, аполитичны и боятся протестов
Казус Чудновец
Чем закончится дело жительницы Катайска, осужденной за репост. Репортаж
Желтую расу — в лагеря
Жизнь японцев, интернированных в США во время войны
Real estate magnate Donald Trump waves as he leaves a Greater Nashua Chamber of Commerce business expo at the Radisson Hotel in Nashua, New Hampshire, May 11, 2011. Trump suggested Wednesday it's not much fun flirting with the idea of running for president in the face of relentless attacks and ridicule. REUTERS/Don Himsel/Pool (UNITED STATES - Tags: POLITICS)Прощание с иллюзией
Почему Трамп не мог оправдать надежд на нормализацию отношений с Россией
Самый лучший президент
Американские историки составили список наиболее успешных руководителей страны
Виталий ЧуркинМаэстро дипломатии
Накануне своего дня рождения скончался постпред России при ООН Виталий Чуркин
Мило ДжукановичИнтриги Черной Горы
Зачем Подгорица обвиняет Москву в попытке переворота
Детские деньги
Как открыть частный детсад и сэкономить
Леонид Хазанов: Налоговая блокада
Или как облегчить экспорт металлургам
Большая перемена
Частные инвесторы заинтересовались школами и детсадами
Кислая ситуация
Почему российский рынок еще долго не избавится от дефицита молока
Без ствола
Российские власти сокращают число владельцев гражданского оружия
Поколение пять
Истребители XXI века вступают в права
Недостаток ресурсов при избытке амбиций
Что не так с индийской системой закупок оружия
Мне хардбольно
Как играют в самую травмоопасную военно-спортивную игру
Допрос обвиняемого - митрополита Петроградского Вениамина на судебном процессе по делу об изъятии церковных ценностей, проходившем в зале филармонииСидеть!
Как молодая советская власть карала своих граждан
После большевистской попытки захвата власти 3-4 июля 1917 года в Петрограде«События в столице застали Ильича врасплох»
Как Сталин, Ленин и Троцкий провели «жаркий» июль 1917 года
Ястреб сбит, ястреб сбит!
Пушка-ловушка, орлы и другие неожиданные способы уничтожить беспилотник
Стрелять, Карл!
Подстреленный Гитлер и отпуск в фашистской Италии: обзор Sniper Elite 4
Говоря «да»
Молодые и красивые обитатели Бруклина на снимках вундеркинда Гарольда Файнстайна
Pierre et Gilles, Sainte Marie MacKillop (Kylie Minogue), 1995, Collection privée (c) Pierre et GillesГолубо-розовое
Транссексуалы, проститутки и панки в латексе на снимках гей-пары Пьера и Жиля
twen, Nr. 6, 1969, Фотография: Гвидо Мангольд, графика: Вилли Флекхаус«Опаснее тысячи порножурналов»
Король книжного и журнального дизайна Вилли Флекхаус
Смерть вождя
Роли, по которым мы запомним Алексея Петренко
A view of the cathedral in Naumburg/Saale, Germany, 21 Janaury 2016. After the first application in summer 0215 failed, a second attempt is being made to register Naumburg Cathedral as a UNESCO world heritage site. Саксония с замками и вином
«Лента.ру» открывает неизвестные россиянам уголки Германии
Страна оленья
Почему Якутия — главное направление для путешествий в этом году
В отпуск с кошкой
Как правильно организовать путешествие с домашними животными
Руины господского дома в усадьбе Ольгово. Дмитровский район, Московская область
Призрак Пиковой дамы
Где в Подмосковье можно встретить привидение
Мимимиметр сломался
Азиатский бум на умилительных собак пришел в Instagram
Я не знаю, как она это делает
Личный опыт: быть фитнес-звездой Instagram и многодетной матерью одновременно
Натянуть уши на нос
Шесть необычных поводов для обращения к пластическому хирургу
Фильтр «зависть»
Звезда Instagram из Нью-Йорка показала изнанку интернет-славы
Ружье и палатка: уникальные автомобильные опции
Инструменты, ружье, пылесос и другие необычные вещи в комплекте с машиной
Ferrari для чемпиона
На аукционе продадут Ferrari Майка Тайсона
Летают, но низенько-низенько
11 машин, способные ехать по любой поверхности. Точнее, даже не ехать
20 роскошных авто. В камуфляже
Маскировка, которая нужна, чтобы стать заметным
Бог простит
В церкви нашли квартиру с красной мебелью и портретами в стиле поп-арт
Дворянское гнездо
Один из самых шикарных в мире домов нашли в диком лесу
«Пусть меня захоронят в отравленную, но родную землю»
Почему люди отказываются покидать чернобыльскую зону: реальные истории
Поставили баком
Англичане сделали идеальный дом из резервуара для воды