Руками не потрогать

Компьютер помог превратить бублик в экзотический фрактал

Группе французских ученых под названием Hevea впервые удалось визуализировать загадочный математический объект под названием изометричное вложение двумерного тора в трехмерное пространство. Помимо красивой картинки, новый результат продемонстрировал, что целый класс дифференциальных уравнений, ранее считавшихся недоступными для расчетов на компьютере, может быть решен с помощью существующих вычислительных машин. Полученное вложение ученые назвали C1-фракталом.

Изометричное вложение в трехмерное пространство

В 1853 году на тот момент уже великий математик Карл Гаусс предложил своему 27-летнему ученику Георгу Фридерику Бернхарду Риману написать работу, посвященную основам геометрии. На тот момент эта тема была, как сказали бы сейчас, в тренде. Перед Риманом встала масштабная задача: собрать и систематизировать разрозненные результаты, которых к 50-м годам позапрошлого века скопилось не так уж и мало - одной только легендарной работе Лобачевского о пятом постулате Евклида (кстати, очень любимой и ценимой Гауссом) на тот момент исполнилось 30 лет.

Уже через год, в 1854 году, Риман представил на суд публики свой труд Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegеn ("О гипотезах, лежащих в основании геометрии"). В этом труде Риману удалось сформулировать понятие многомерной поверхности (или, как говорят сейчас, многообразия), а также понятия метрики - набора чисел в каждой точке такой поверхности, возможно меняющегося от точки к точке, которые характеризуют ее геометрию. Среди прочего, метрика позволяет скалярно перемножать вектора, "торчащие" в одной точке пространства, а также в некотором смысле очень естественно считать длины кривых, соединяющих точки поверхности (кстати, именно риманова геометрия является математическим аппаратом теории относительности).

Риман так писал о собственных результатах: "Допущения, о которых идет речь, не являются (как и всякие допущения) необходимыми; достоверность их носит эмпирический характер; они - не что иное, как гипотезы. Их правдоподобие (которое, как бы то ни было, очень значительно в пределах наблюдения) надлежит подвергнуть исследованию и затем судить о том, могут ли они быть распространены за пределы наблюдения как в сторону большого, так и в сторону неизмеримо малого".

Опасения великого математика понятны - выбранный им подход кажется на первый взгляд довольно избыточным: какие-то абстрактные многообразия с непонятно какой геометрией. При этом есть вполне себе естественные "поверхности" - n-мерные пространства со стандартным скалярным умножением векторов (матрица Грама этого умножения, не меняющаяся от точки к точке, и есть метрика, а сами такие пространства называют евклидовыми), для которых ничего дополнительно определять не надо. В каждом таком пространстве есть поверхности размерностей от 1 (кривые) до n-1 (гиперповерхности), на которых тоже можно умножать "торчащие" из одной точки вектора и считать длины кривых - ведь у нас есть в объемлющем пространстве вполне пригодное для таких нужд скалярное произведение.

Пэкмен, живущий на плоском торе. Иллюстрация авторов исследования (кликните, чтобы увеличить)
Пэкмен, живущий на плоском торе. Иллюстрация авторов исследования (кликните, чтобы увеличить)

Отметим, что мы рассматриваем только поверхности, у которых нет изломов и острых концов (как, например, у цилиндра). Это эквивалентно тому, что в каждой точке поверхности есть касательная плоскость. С точки зрения математики, такие поверхности называются C1-многообразиями.

В течение примерно 100 лет математиков мучил вопрос: есть ли абстрактные римановы многообразия, которые отличаются от таких поверхностей? В 1954 году Николас Кейпер и Джон Нэш (кстати, большинство геометрических заслуг Нэша в кинофильме "Игры разума" было проигнорировано, чтобы, вероятно, не смущать зрителя сложностью результатов) опубликовали работу, в которой доказали, что поверхностей существует не меньше, чем римановых многообразий. Если быть точным, то абстрактное риманово многообразие может быть реализовано как поверхность в пространстве достаточно большой размерности так, что длины любой кривой между любыми двумя точками, посчитанные в смысле внутренней римановой метрики и в смысле метрики окружающего пространства, совпадают. Такая реализация называется изометрическим вложением многообразия в риманово пространство.

Надо сказать, что Нэшу и Кейперу удалось вывести во многом совершенно противоестественный результат: оказывается, всякое риманово многообразие можно вложить в сколь угодно маленький шар. Это означает, например, что многообразие, на котором расстояния между точками составляют, скажем, сотни тысяч километров, можно реализовать в виде очень сильно запутанной поверхности в шаре миллиметрового радиуса. Как следовало из доказательства математиков, сделать это можно, достаточно сильно "измяв" многообразие.

Как конкретно будем строить?

Проблема с доказательством Нэша и Кейпера заключалась в том, что оно не было конструктивным. Это означает, что ученые доказывали существование некоторого объекта, не предъявляя метода для его непосредственного построения. В некотором смысле такое происходит сплошь и рядом - скажем, если в вагоне метро у вас вытащили кошелек (установить отсутствие кошелька в кармане достаточно просто), это означает, что в вагоне находится вор, но кто из десятков пассажиров конкретно им является, останется неясным.

В 70-80-е годы прошлого века математик российского происхождения Михаил Громов занялся обобщением результатов Нэша и Кейпера. Дело в том, что в оригинальном доказательстве по сути устанавливалось существование решения у некоторой системы дифференциальных уравнений в частных производных. Громов решил обобщить подход Нэша и Кейпера к другим системам дифференциальных уравнений, и у него это получилось. Более того, созданный им метод - получивший название выпуклого интегрирования - оказался применим к широкому классу систем и даже неравенств. Этот метод очень пригодился математикам, чтобы, среди прочего, визуализировать знаменитый результат Смейла о том, что в трехмерном пространстве сферу можно вывернуть наизнанку.

Группе французских ученых под названием Hevea, куда входят Францис Лазарус, Саид Жабран, Борис Тибер, Дэмиен Ромер и Винсент Борелли, впервые удалось реализовать метод Громова на практике (надо сказать, что многие специалисты относились к возможности такой реализации метода Громова довольно скептически). Они создали алгоритм, который позволяет численно "выпукло интегрировать", то есть находить решения соответствующих уравнений с заданной точностью. Чтобы доказать работоспособность своего подхода, ученые обратились к классической задаче: они решили построить изометрическое вложение двумерного тора в трехмерное пространство.

Плоский тор и его вложение

Чтобы понять, что такое плоский тор, представим себе квадрат на плоскости. Будем считать, что противоположные стороны у квадрата отождествлены. Это означает, что всякий двумерный объект на этом квадрате, заезжая за один край, выезжает из противоположного (любители классических игр помнят, что в "Астероидах" именно так летали астероиды). Чтобы понять, что это тор, склеим два края квадрата - получим цилиндр. Теперь склеим края цилиндра и получим привычный всем бублик.

Линии на плоском торе и их образы на вложении. Иллюстрация авторов исследования (кликните, чтобы увеличить)
Линии на плоском торе и их образы на вложении. Иллюстрация авторов исследования (кликните, чтобы увеличить)

При этом, если бы склеивания выполнялись в действительности, стало бы понятно, что из бумажного квадрата цилиндр получается довольно просто, а вот из цилиндра тор - уже нет. Это связано с тем, что в нашем квадрате отрезки, параллельные его сторонам, имеют одинаковую длину по горизонтали и по вертикали, в то время как на настоящем бублике параллели (например, на наружной стороне тора и на внутренней) имеют разные длины. Чтобы сделать из бумажного цилиндра тор, его придется смять, появятся изломы, острые края, то есть поверхность не будет C1-многообразием.

В рамках работы, опубликованной в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences, французские ученые предложили действовать следующим способом. Сначала они взяли обычный тор в трехмерном пространстве, а затем стали возмущать его так, что длины одних параллелей увеличивались, а длины других - уменьшались. Возмущения были разбиты на последовательность шагов, пределом которых и должно было стать нужное вложение.

При этом в пределе получается объект, у которого в каждой точке есть касательная плоскость, однако по построению он напоминает фрактал. Эти объекты ученые назвали C1-фракталами. По их словам, эти фракталы могут представлять интерес для математиков-теоретиков.

Вместо заключения

Построение изометрического вложения плоского тора интересно, конечно, и само по себе - возвращаясь к аналогии с кражей кошелька, всегда приятно узнать, кто же все-таки оказался вором. Вместе с тем, первая работа, скорее всего, является всего лишь первой ласточкой: теперь, когда французы доказали практическую реализуемость метода выпуклого интегрирования, он привлечет внимание специалистов по вычислительной математике по всему миру. Кто знает, может, и у них получатся такие же красивые картинки.

Обсудить
Наука и техника

Пусть полетает

Какое ПО нужно беспилотнику и как на этом заработать
Несчастье помогло
Почему россияне чувствуют себя счастливыми как никогда
Посещение научно-производственного объединения «Сатурн»Сделано вопреки
Путину продемонстрировали, как Россия справляется без Украины
Нетрадиционная семейная ориентация
Должны ли отцы воспитывать детей и ухаживать за ними наравне с матерями
Каждое третье убийство
Центральную и Южную Америку захлестнула волна насильственных преступлений
Как живется Микки-Маусу в КНДР
Что представляет собой поп-культура Северной Кореи
Владимир Путин и Синдзо Абэ«Мы с Владимиром хотим идти рука об руку»
Из десятков намеченных планов Абэ и Путин пока готовы реализовать только один
Эрдоган, Аллах и Россия
Стоит ли бояться исламизации Турции
«В отношениях с Китаем и Россией Трамп готов рискнуть»
Политолог из КНР о ситуации внутри страны и взаимодействии с соседями
Брить или не брить
Поклонницы натуральной красоты массово отказываются от эпиляции
CULVER CITY, CA - NOVEMBER 12: Founder, Snapchat Evan Spiegel (L) and model Miranda Kerr attend the Fifth Annual Baby2Baby Gala, Presented By John Paul Mitchell Systems at 3LABS on November 12, 2016 in Culver City, California. (Photo by Tommaso Boddi/Getty Images for Baby2Baby)Триумф ботана
Самый престижный жених современности — IT-магнат
«Американцы — радостный народ»
Рассказ москвича, переехавшего в Сан-Франциско
Мама — марихуана
Зачем американки совмещают употребление наркотиков с воспитанием детей
Очеловеченный фургон
Длительный тест стильно-пассажирского VW Multivan
ОСАГО надо?
Автомобильные аварии, превращенные в искусство
Самые крутые локомобили
Машины, которые ездят по рельсам
Самые выдающиеся французские машины
10 автомобилей из Франции, ставших культовыми
Чудеса селекции
Что получится, если скрестить квартиру с дачей: опыт россиян
Шведы поневоле
Исповедь россиянина, живущего в групповой семье
Добро пожаловать в рай
Жилье в Крыму: новую квартиру на полуострове можно купить за миллион рублей
Сносное настроение
Демонтаж жилых домов в Москве: что нужно знать
Вышка светит
Как выглядит частный особняк, побивший мировой рекорд этажности