На три буквы Японец заявил о доказательстве легендарной ABC-гипотезы

В августе 2012 года японский математик Синити Мотидзуки опубликовал серию из четырех работ, в которых заложил основы арифметической теории пространств Тейхмюллера. Главное, впрочем, не сама теория, а сфера ее применения - с ее помощью можно доказать (что Мотидзуки и делает в четвертой работе) знаменитую ABC-гипотезу, одно из самых важных утверждений в теории чисел последних лет. Первые отзывы о работе появились только сейчас, в середине сентября 2012-го года, и в них сквозит осторожный оптимизм: явных дырок в доказательстве не найдено, специалисты приступили к более детальному разбору работы. Насколько затянется такая проверка, пока сказать трудно (в общей сложности теория Мотидзуки изложена на более чем 500 страницах текста) - речь может идти о нескольких годах. Однако дело того стоит.

Теория чисел как она есть

Теория чисел - это один из древнейших разделов математики, уходящий корнями в Древний Египет, Вавилон и Грецию. В 1800 году до нашей эры вавилоняне, например, занимались изучением пифагоровых троек - троек целых чисел (a, b, c), которые могут быть сторонами прямоугольного треугольника. Это геометрическое свойство эквивалентно арифметическому утверждению о том, что a² + b² = c².

Простейший пример такой тройки - (3, 4, 5). Понятное дело, что если все числа в пифагоровой тройке умножить (или поделить) на некоторое целое число, то полученная тройка также будет пифагоровой, поэтому представляют интерес именно тройки, не получающиеся друг из друга в результате такой операции. Задача отыскания таких троек эквивалентна поиску так называемых примитивных троек, то есть таких троек, в которых у чисел (a, b, c) нет общих делителей (такие числа называются взаимнопростыми). Так вот, вавилоняне составляли списки таких попарно непропорциональных троек и добрались даже до 5-значных чисел. Сейчас-то известно, что есть довольно простой универсальный метод построения этих чисел, но как это делали в Вавилоне, до сих пор остается загадкой.

Магия теории чисел, среди прочего, заключается в том, что многие задачи этой теории формулируются довольно просто и даже наивно, по-школьному. При этом, для решения задач приходится привлекать методы комплексного анализа, алгебраической геометрии, теории категорий и многие другие достижения математики, казалось бы, совершенно излишние в таких "простых" задачах. Первенство по количеству обманутых таким образом людей (одна история с доказательством в прямом эфире чего стоит!), держит, разумеется Великая теорема Ферма (связанная с уже упоминавшимися пифагоровыми тройками): доказать, что для n > 2 не существует таких целых (a, b, c), что aⁿ + bⁿ = cⁿ (это равенство будем называть равенством, или уравнением, Ферма). По сути теорема, которую, кстати, правильно называть гипотезой Ферма, или следствием теоремы Уайлса, утверждает, что для степеней выше второй пифагоровых троек не существует вовсе.

В этом же ключе довольно просто формулируется гипотеза Гольдбаха. На самом деле таких гипотез две - бинарная и тринарная, известные также как сильная и слабая. Первая утверждает, что всякое четное число больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел (то есть чисел, которые не делятся ни на какие, кроме себя и единицы, при этом единица из рассмотрения исключается), а вторая - что всякое нечетное число больше пяти представимо в виде суммы трех простых. Из справедливости бинарной гипотезы следует справедливость тринарной - достаточно в качестве одного из слагаемых взять тройку. В результате число будет представлено в виде суммы четного и тройки, а после этого к четному можно применить бинарную гипотезу.

Как бы то ни было, но сильная гипотеза Гольдбаха (сформулированная, к слову, в письме Эйлеру еще в 1742 году) до сих пор не доказана. В свою очередь тринарная гипотеза была почти доказана советским математиком Иваном Виноградовым в 1937 году. Используя нетривиальные результаты из комплексного анализа и теории рядов, он показал, что утверждение верно для всех достаточно больших N. За свое открытие он получил Сталинскую премию, однако его ученик Константин Бороздин оценил "границу Виноградова" и пришел к выводу, что она составляет число порядка 10^{6 846 168}. Позже она неоднократно уменьшалась, и в настоящее время лучший порядок оценки - 10^{43 000,5}.

Проверить все числа до этой границы, чтобы завершить доказательство, до сих пор не представляется возможным даже с использованием самых современных компьютеров. Поэтому, формально говоря, у слабой гипотезы Гольдбаха еще могут найтись исключения. Впрочем, даже если и так, то их будет не более чем конечное число, что почти так же хорошо, как если бы их и не было вовсе. Примечательно, что математики не оставляют попыток предложить такое доказательство, чтобы оно не требовало перебора. Недавно, например, математик Теренс Тао (Terence Tao) из Калифорнийского университета сделал важный шаг в этом направлении: он смог доказать, что всякое нечетное число представляется в виде суммы не более чем пяти простых чисел.

Из приведенных примеров можно сделать единственный вывод: как верно заметил в своей лекции, посвященной как раз ABC-гипотезе, специалист по алгебраической геометрии Дмитрий Орлов, основные проблемы в теории чисел возникают там, где смешиваются сложение и умножение. Оно и понятно - эти операции устроены совершенно по-разному. Скажем, с точки зрения сложения всякое натуральное число есть сумма некоторого количества единиц, поэтому натуральные числа в некотором смысле порождаются одним единственным элементом и одной операцией с ним.

С другой стороны, по умножению натуральные числа устроены иначе. Известно, что уже упоминавшиеся выше простые числа - это своего рода кирпичики, из которых можно составить любое натуральное число. Если быть точным, то всякое натуральное число может быть представлено в виде произведения простых. Некоторые из этих простых могут оказаться одинаковыми, поэтому их группируют по степеням. В окончательном варианте это утверждение, известное как основная теорема арифметики, звучит так: всякое натуральное число единственным образом представляется в виде произведения степеней простых. Например, число 24 = 2³*3.

При этом количество порождающих по умножению, то есть простых чисел, вообще говоря, бесконечно. Действительно, предположим противное, что число простых чисел конечно. Обозначим эти числа через p₁, ..., p_n и рассмотрим число p₁*...*p_n + 1. Оно больше всех p_i и не делится ни на одно из них. Стало быть, по основной теореме арифметики, это число является простым. Так как предполагалось, что занумерованы все простые числа, получается противоречие, и утверждение о бесконечности количества простых чисел доказано. Понятное дело, что бесконечное количество порождающих в некотором смысле заметно осложняет дело. Но настоящие трудности начинаются тогда, когда простые числа начинают складывать (см. уже упоминавшиеся проблемы Гольдбаха).

ABC-гипотеза

Гипотеза, о которой идет речь, появилась в работах Дэвида Уильяма Массера и Джозефа Эстерле в 1985 и 1988 годах соответственно. Эстреле и Массер пытались сформулировать аналог утверждения, известного как теорема Мейсона-Стотерса. Эта теорема связана с многочленами от одной переменной и, вообще говоря, не является слишком уж сложным утверждением - в университетском курсе алгебры она фигурирует обычно в виде набора упражнений.

Для того чтобы сформулировать гипотезу Эстреле-Массера, потребуется понятие радикала. Радикалом числа rad(N) называется произведение всех простых множителей этого числа. Из основной теоремы арифметики вытекает, что это в точности простые множители, участвующие в разложении числа. Например rad(24) =2*3 = 6 (пример разложения 24 на простые множители см. выше). У этого числа есть несколько очевидных свойств. Например, если a и b взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, отличных от единицы, то rad(ab) = rad(a) rad(b). Кроме этого, равенство rad(a) = a выполняется тогда и только тогда, когда a - произведение попарно различных простых чисел. В общем, видно, что радикал представляет собой удобный инструмент для изучения произведения натуральных чисел.

Рассмотрим теперь тройки чисел (a, b, c), для которых a + b = c и все три числа взаимно просты (в данном случае не важно, попарно или в совокупности - из-за равенства это одно и то же). Эстреле и Массера интересовал радикал произведения таких трех чисел, то есть rad(abc) который по свойствам операции равен rad(a) rad(b) rad(c). Математики задали вот такой, на первый взгляд не очень понятно зачем нужный вопрос: какое из чисел c и rad(abc) больше? Оказывается, однозначного ответа на этот вопрос нет. Например, возьмем тройку (2, 3, 5). Для нее 5 < rad(2*3*5) = 2*3*5 = 30. В свою очередь для тройки (1, 8, 9) выполнено, что 9 > rad(8*9) = rad(2³*3 ²) = 2*3 = 6.

Вместе с тем, дальнейшие исследования позволили установить, что троек первого типа в некотором смысле больше: если взять случайную тройку с условиями взаимной простоты и a + b = c, то почти всегда будет выполняться именно первое неравенство. Поэтому тройки, для которых c > rad(abc) получили название исключительных. Численный эксперимент показывает, что среди всех подходящих троек, у которых c< 50000, исключительных всего 276. Поэтому следующим естественным вопросом является такой: конечно ли число исключительных троек? Ответ и на этот вопрос оказался неутешительным для Эстреле и Массера: нет, таких троек бесконечно много. Более того, можно предъявить такую серию троек, что отношение rad(abc)/c будет сколь угодно малым. Фактически, это означает отсутствие какой либо линейной оценки на значение радикала.

Раз нет линейной оценки, то можно попробовать найти какую-нибудь экспоненциальную. И тут математикам повезло - так и появилась ABC-гипотеза. В одной из своих формулировок она звучит так: для любого действительного числа r > 1 существует не более конечного числа троек натуральных чисел (a, b, c) таких, что для них выполнены одновременно три условия: a + b = c; a, b и c взаимно просты и c > rad (abc)^r.

Важность гипотезы

Вопрос о том, почему одни гипотезы оказываются в центре внимания математиков и становятся предметом ажиотажа, а другие - случается серьезные и фундаментальные - проходят незамеченными, это, конечно, вопрос философский. Важной гипотезу часто делает известность (например, Великая теорема Ферма), но с ABC-гипотезой все не так. Дело в том, что за время, прошедшее с появления этой гипотезы, математики свели к ней множество нерешенных задач. К ним относятся, например, гипотеза Шпиро и гипотеза Войты. Кроме этого, оказалось, что из этой гипотезы можно вывести множество фундаментальных результатов не только теории чисел, но и алгебраической геометрии - доказанная в 1983 году гипотеза Морделла и даже пресловутая Великая теорема Ферма.

С некоторыми дополнительными предположениями и почти в три строчки это делается в уже упомянутой видеолекции Дмитрия Орлова (она приводится чуть ниже), однако это доказательство достойно того, чтобы привести его полностью. Итак, сначала напомним, что сам Ферма доказал свою теорему для частного случая при n = 4. В свою очередь, n = 3 и n = 5 были разобраны Эйлером в 1770 году и Дирихле с Лежандром в 1825 году соответственно. Случай n = 6 можно свести к случаю Эйлера. Действительно, пусть мы нашли такую тройку (a, b, c), что a⁶ + b⁶ = c⁶, тогда тройка (a², b², c²) по свойствам степени удовлетворяет уравнению Ферма для n = 3, а Эйлер доказал, что таких троек не существует. Стало быть, нет троек и для n = 6 (вообще говоря, аналогичным образом теорему Ферма можно свести к рассматриванию только нечетных n и n = 4).

Пусть теперь n > 6. В гипотетических тройках Ферма - так мы будем называть тройку натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению Ферма, - как и в пифагоровых тройках, имеет смысл рассматривать только взаимнопростые (a, b, c). Обозначим теперь A = aⁿ, B = bⁿ и С = cⁿ. Тройка (A, B, C) уже удовлетворяет требованиям ABC-гипотезы. Положим в ней r = 2. Тогда получаем, что найдется не более конечного числа троек таких, что С > rad (ABC)². Для всех остальных троек C не превосходит rad(ABC) ² = a²b²c² < c⁶ (так как a < с и b < c). При этом C не меньше с⁶ в силу выбора n. Используя дополнительное предположение о том, что исключительных троек для r = 2 нет вообще (Орлов утверждает, что это можно доказать относительно легко), получаем Великую теорему Ферма. Впрочем, даже и без дополнительного предположения оказывается верен довольно сильный результат о том, что если тройки Ферма есть, то их не более конечного числа.

Уже по этим выкладкам понятно, что ABC-гипотеза - это крайне мощный инструмент в теории чисел. Отметим в заключение, что за время существования гипотезы предпринималось несколько попыток ее доказать. Самой известной была попытка Люсьена Шапиро в 2007 году. В доказательстве француза были обнаружены ошибки.

Работа Мотидзуки

И вот, как гром среди ясного неба, появляется работа, точнее работы, Синити Мотидзуки. В серии из четырех работ (1, 2, 3 и 4) японский математик излагает основы арифметической теории пространств Тейхмюллера. Суммарный объем работ превосходит 500 страниц. Надо сказать, что сама теория Тейхмюллера была создана в 40-е годы прошлого века и была сугубо геометрическим объектом.

Мотидзуки подошел к пространствам Тейхмюллера с совершенно иной стороны. В основе его подхода лежит та же идея, что когда-то привела к возникновению алгебраической геометрии. Эта идея, если сформулировать кратко, звучит так: иногда полезно обобщать. То есть зачастую удачное обобщение позволяет перенести уже имеющиеся результаты на случаи, в которых существование тех или иных теорем представлялось совершенно неочевидным. Мотидзуки на этом пути зашел так далеко, что даже специалисты затрудняются рассуждать о новой теории.

Вместе с тем, они демонстрируют осторожный оптимизм. Причин для этого несколько. Во-первых, многим специалистам подход японца кажется естественным и, скорее всего, верным по сути. Во-вторых, Мотидзуки - известный специалист, имеющий на своем счету несколько замечательных результатов. Поэтому слов на ветер, вроде, бросать не станет. Вместе с тем, никто не скрывает, что проверка теории может занять годы.

Вместо заключения

Можно предположить, что одним из самых задаваемых вопросов у простого читателя будет такой: "А зачем это нужно?" Здесь, конечно, следовало бы напомнить, что математический аппарат теории относительности появился более чем на сто лет раньше самой теории, вспомнить про квантовую механику, криптографию, в которой теория чисел применяется самым активным образом, и прочее в том же духе. Но будем честны: разве эти аргументы звучат убедительно? Разве появляются у читателя представления о глубоких взаимосвязях между разными ветвями человеческого знания, о естественных процессах, происходящих в этих самых областях? Скорее всего нет. Да и вся эта мотивация выглядит как попытка оправдать существование математики перед теми, для кого арифметические операции с двузначными числами - непосильный труд. Математике и теории чисел не нужны эти оправдания. Поэтому на вопрос "зачем?" лучше всего ответить одной-единственной картинкой.