Бог любит троицу

Решена одна из старейших и сложнейших математических задач

Схематическое разбиение нескольких первых четных чисел в сумму простых
Схематическое разбиение нескольких первых четных чисел в сумму простых

В середине мая 2013 года математик из Перу, в настоящее время работающий во Франции, Харальд Хельфготт выложил в архив препринтов Корнельского университета статью «Большие дуги для теоремы Гольдбаха». Эта статья объемом 133 страницы содержит финальную часть доказательства (начатого на заре XX века великим советским математиком Иваном Виноградовым) так называемой тернарной проблемы Гольдбаха — одной из старейших задач в теории чисел.

Май 2013 года стал совершенно удивительным месяцем для теории чисел (точнее, аналитической теории чисел, но это уже детали для специалистов): буквально за одну неделю стало известно о прогрессе в двух сложнейших проблемах, относящихся к так называемым аддитивным задачам. Если грубо, то это целый класс задач, которые имеют дело с представлением одних чисел в виде суммы других, причем эти другие берутся из какого-нибудь специального класса. Соответственно, большинство задач сводится к тому, существуют ли указанные представления и если да, то сколько их. Ответ на последний вопрос, конечно, дается не точный, а в виде какой-нибудь примерной оценки. К задачам этого класса относятся, например, задача Лежандра о представлении целого числа в виде суммы четырех квадратов натуральных чисел, задача о представлении натурального числа в виде суммы пяти квадратов простых чисел (простыми, напомним, называются числа, которые делятся только на себя и на единицу).

Одной из этих задач была и так называемая задача о простых числах-близнецах. Про нее «Лента.ру» подробно уже писала. Если коротко, то суть этой проблемы такова: нужно доказать, что количество простых чисел p, q, таких, что p - q = 2, бесконечно. В смысле аддитивных задач здесь решается вопрос о бесконечности количества представлений двойки в виде разности двух простых. Саму задачу пока решить не удалось, однако американский математик Итан Чжан сделал важный шаг: он доказал, что существует такое целое N, что множество пар простых чисел p, q c условием p - q = N бесконечно. Это стало существенным шагом вперед, поскольку раньше не было известно, бесконечно ли множество таких пар хоть для какого-нибудь N.

Другой же задачей, которую, в отличие от чисел-близнецов, удалось решить полностью, стала так называемая тернарная задача Гольдбаха.

Записки на полях

В 1725 году немецкий математик и юрист Кристиан Гольдбах переехал в Россию, чтобы стать постоянным членом только что открывшейся Петербургской академии наук. Дела у математика достаточно быстро пошли в гору, и его приблизили ко двору — спустя всего несколько лет он был личным репетитором юного Петра II. В 1742 году уже немолодой Гольдбах (ему было 52 года) решает закончить карьеру ученого и принимает позицию чиновника в Коллегии иностранных дел. 7 июня этого же, судьбоносного для Гольдбаха года математик пишет письмо Леонарду Эйлеру, на тот момент проживавшему в Пруссии. С Эйлером Гольдбах познакомился еще до приезда в Россию во время своего образовательного турне по Европе после окончания университета и с тех пор поддерживал дружеские отношения.

В конце письма, уже на полях, Гольдбах пишет следующую гипотезу: «Всякое целое число больше двух можно представить как сумму трех простых» (немецкий математик, в отличие от представлений современной теории чисел, считал единицу также простым числом). В ответном письме Эйлер напоминает Гольдбаху, что ранее в личной беседе тот высказывал похожую гипотезу: мол, любое четное целое число можно представить в виде суммы двух простых. При этом Эйлер был уверен, что «это несомненно верная теорема», но говорил, что он ее «доказать не в состоянии». Так на свет появилась гипотеза Гольдбаха, точнее даже две гипотезы сразу.

Первая получила название тернарной (или слабой) гипотезы Гольдбаха. Она утверждает, что всякое нечетное целое число больше пяти представляется в виде суммы трех (не обязательно попарно различных) простых чисел. В свою очередь бинарная (или сильная) гипотеза Гольдбаха утверждает, что всякое целое четное число больше двух представляется в виде суммы двух (не обязательно различных) простых чисел. Эту гипотезу называют сильной потому, что слабая из нее вытекает: добавляя ко всем четным числам тройку, мы можем получить все возможные нечетные числа больше пяти.

Дуги большие и малые

К началу XX века гипотезы Гольдбаха, наряду с гипотезой Римана, стали одними из центральных задач теории чисел, войдя даже в состав знаменитой 8-й проблемы Гильберта.

Прорыв в решении этой задачи был совершен британскими математиками Гарольдом Харди и Джоном Литтлвудом. Тогда они изучали задачу Варинга (о ней говорилось выше). Развивая идеи самого Харди и Сириваса Рамануджана, заложенные в работах 1916-1917 годов, британские математики создали так называемый круговой метод. Его суть заключается в следующем: решение задачи (например, количество способов представить целое число в виде суммы трех простых) задается интегралом по единичной окружности от некоторого ряда. Этот интеграл разбивается на два, один из которых оценивается, а про другой доказывается его относительная малость. Составляющие первую сумму называются большими дугами, а вторую — малыми.

Если читатель споткнулся на этом месте, то вот как этот метод в беседе с «Лентой.ру» объяснил сам Харальд Хельфготт: «Анализ количества решений производится, по сути, посредством преобразования Фурье. Представьте себе, что простые числа — это звуки на некоторой записи, скажем, в моменты времени 2, 3, 5, 7, 11 и так далее микросекунд. После преобразования у вас получается своего рода шум, в котором вы пытаетесь услышать какие-то ноты. Среди них есть такие, которые слышны достаточно хорошо, — это и есть большие дуги. А есть частоты, которые просто являются шумовыми фрагментами, — это малые дуги. Весь метод распадается на две части — выделение нот и доказательство того, что остальное на самом деле шум. За первую часть метода отвечают оценки на большие дуги, за второй — на малые».

Используя свой метод, Харди и Литтлвуд сумели доказать тернарную гипотезу Гольдбаха. Однако у их доказательства был один, но крайне существенный изъян, который, по сути, перечеркивал всю работу: в статье они опирались на недоказанную обобщенную гипотезу Римана. Если коротко, то это некоторое утверждение о решениях одного уравнения — в гипотезе говорится, что все эти решения лежат на одной прямой на плоскости. Это утверждение настолько сложное, что оно не доказано до сих пор, и ее упрощенный вариант (известный просто как гипотеза Римана) входит в список задач Тысячелетия института Клея, за решение каждой из которых полагается по миллиону долларов. Гильберт даже шутил, что если бы он уснул и проснулся через 500 лет, то первым делом спросил бы, доказана ли гипотеза Римана.

Метод Харди и Литтлвуда был усовершенствован советским математиком Иваном Виноградовым. Благодаря этому в 1937 году Виноградов без использования гипотезы Римана доказал вот такой факт: все нечетные целые числа, начиная с некоторого N, можно представить в виде суммы трех простых. «Пожалуй, основным достижением Виноградова были оценки на малые дуги. На самом деле в круговом методе это сложная часть, и оценки Виноградова на тот момент были просто потрясающие — они были результатом крайне нетривиальных комбинаторных рассуждений. Для оценки же больших дуг он использовал методологию, очень похожую на ту, которая была у Харди и Литтлвуда», — рассказал Хельфготт.

Доказано — не доказано

Прежде чем продолжить рассказ, сделаем важное отступление. С этого самого момента (то есть с 1937 года) советские математики и дружественные им считают тернарную проблему Гольдбаха решенной, в то время как зарубежные математики с этим несогласны. К несчастью, правы именно иностранцы: несмотря на то что Виноградов проделал уникальную работу, окончательно задача не была решена. Во-первых, Виноградов не оценил число N. Когда же это было сделано его учеником Константином Бороздиным, оказалось, что граница N в работе Виноградова составляет число порядка 106 846 168. Даже сейчас численная проверка на компьютерах всех «оставшихся» случаев в работе Виноградова не представляется возможной. А значит (и это во-вторых), среди этих чисел может скрываться контрпример к утверждению тернарной гипотезы Гольдбаха. И пусть в существование такого контрпримера никто не верил, задача не могла считаться решенной.

С тех пор многие математики пытались улучшить результат Виноградова. Идея в основе всех этих попыток была довольно простой: улучшая оценки, добиться того, чтобы N стало достаточно малым. «Достаточно малым» в данном случае подразумевает такое значение, для которого гипотезу Гольдбаха можно проверить на компьютере.

«Я начал серьезно заниматься проблемой Гольдбаха в 2006 году, — рассказал "Ленте.ру" Хельфготт. — Достаточно быстро я понял, что могу улучшить существовавшие на тот момент оценки малых дуг. Результатом этой работы стали так называемые свободные от логарифмов оценки (эти результаты я получил достаточно быстро). Дальше работа двигалась намного медленнее — ведь я старался улучшать оценки не только количественно, но и качественно. С самого начала мне казалось, что без качественных улучшений в этой задаче не продвинуться».

В 2012 году свет увидела работа известного специалиста по теории чисел и филдсовского медалиста 2006 года Терренса Тао. Ему удалось показать, что всякое нечетное число представимо как сумма не более чем пяти простых чисел.

«Надо сказать, что появление работы Тао, посвященной пяти простым числам, подстегнуло меня. У меня появился повод собрать воедино все те идеи, которые на тот момент скопились у меня по поводу тернарной гипотезы Гольдбаха. Результатом этого стала работа, посвященная малым дугам. Еще год ушел у меня на работу по большим дугам», — рассказал Хельфготт.

Результатом трудов Хельфготта стала 133-страничная работа, которая содержит все необходимые оценки. Главная теорема звучит следующим образом: все нечетные целые числа, большие 1029, могут быть представлены в виде суммы трех простых. Ранее утверждение гипотезы Гольдбаха было проверено (самим Хельфготтом в сотрудничестве с Давидом Платтом) до 8,875 x 1030. Вместе эти два факта дают окончательное доказательство тернарной гипотезы Гольдбаха. Примечательно, что новая работа полагается на численные методы еще в одном месте: для доказательства пришлось проверить уже упоминавшуюся обобщенную гипотезу Римана для достаточно большого количества корней. Сделано это было Давидом Платтом.

«Я помог Платту, — говорит Хельфготт, — выбил ему время на суперкомпьютерах в разных местах. Впрочем, его вычисления нужны не только в этой задаче — они будут полезны и в других разделах математики».

Бинарная проблема Гольдбаха

Для бинарной проблемы круговой метод не действует — влияние малых дуг там оказывается слишком сильным. В 1930 году Лев Шнирельман показал, что всякое четное число представимо в сумме не более чем С простых, где C - некоторая константа. Изначально она была очень большой: в 1969 году советский математик Климов показал, что C не превосходит 6 000 000 000.

Этот результат неоднократно улучшался — в 1995 году Оливер Рамаре показал, что всякое четное число представимо в виде суммы не более, чем шести простых. Примечательно, что новый результат Хельфготта позволяет улучшить результат Рамаре: вычитая из четного числа тройку, мы получаем нечетное, которое, как теперь известно, представимо в виде суммы трех простых. Стало быть, всякое четное число представимо в виде суммы четырех простых.

Сами же математики считают, что решение сильной проблемы Гольдбаха еще далеко.

Обсудить
Збигнев БжезинскийЧеловек в истории
Война и мир Збигнева Бжезинского
Нацист на пути джихада
Жизнь и удивительные приключения Абдул Азиза ибн-Мьятта, британского ультраправого поэта
«Ближние соседи важнее дальних гегемонов»
Александр Ломанов о приоритетах внешней и внутренней политики Китая
The library at Holland House in Kensington, London, extensively damaged by a Molotov 'Breadbasket' fire bombВзорвать Британию
Соединенное Королевство уже 48 лет ведет необъявленную войну с бомбистами
Маэстро, урежьте марш
Большая семерка и НАТО — не «концерт держав», а оркестр
Зенитный ракетно-пушечный комплекс «Панцирь-С» ведет огоньПоследний отсчет
До старта новой госпрограммы вооружений остаются месяцы
Битва за ствол
Стрелковое лобби добилось смягчения указа, ограничивающего оборот оружия
И палка стреляет
Самые яркие и необычные образцы кустарного оружия, изъятого полицией
Начудил
Как Федор Чудинов потерпел второе кряду поражение в профессиональной карьере
Тройной Жозе
Голы, странные пенальти, курьезы и травмы завершившейся Лиги Европы — видео
Джордж Гроувз и Федор Чудинов На британский флаг
Сможет ли Федор Чудинов увезти из Шеффилда титул чемпиона мира по боксу
Бей, души, убивай
Социальные сети не просто следят за нашими чувствами, они управляют ими
Самоубийственные аресты
За борьбой с «группами смерти» может стоять конфликт в силовых структурах
Привет, жестокий мир
Боль, отчаяние и мужество в объективах самых талантливых молодых фотографов
Не лайкай всуе
10 заповедей самой вредной для психики социальной сети в мире
An antique shop owner naps on a chair outside his shop at a market in Beijing, China, Monday, Aug. 23, 2010. (AP Photo/Alexander F. Yuan)Сокровища за бесценок
Самые удивительные клады, которые нашли в купленном за копейки барахле
Гибче надо быть
Мобилити-трейнинг — модная тренировка для тех, кто не достает пальцами до пола
Паровые танки
Пять увлекательных попыток построить паровую технику для войны
Тест-драйв японского брата «Дастера»
Как Nissan Terrano стал еще ближе к Renault Duster
Лучшее автомобильное видео мая
Две «Тойоты» врезаются друг в друга, британский спорткар соревнуется с самолетом и многое другое
15 машин на реактивной тяге
90-летняя история автомобилей с двигателями от самолетов и ракет
От нашего стола
Российские интерьеры, сводящие иностранцев с ума
Зависли на хате
Украинцы придумали дом, который может обойтись без российского газа
Москва за нами
Какие квартиры можно купить в пределах МКАД по цене до трех миллионов рублей
Сносное настроение
Демонтаж жилых домов в Москве: что нужно знать
Вышка светит
Как выглядит частный особняк, побивший мировой рекорд этажности