Братишка, ты цел?

Математики приблизились к решению проблемы простых чисел-близнецов

Плотность простых чисел
Плотность простых чисел

Американский математик Итан Чжан представил работу, которая может считаться важнейшим шагом на пути решения задачи о простых числах-близнецах — по некоторым данным, одной из старейших нерешенных проблем в математике. Работа принята в Annals of Mathematics и, судя по первым отзывам рецензентов, ошибок не содержит. В открытом доступе статьи пока нет, но записи с семинара, который Чжан провел в Гарвардском университете, уже гуляют по Сети.

Простыми называются числа, которые делятся только на единицу и на себя (для удобства 1 в множество простых не включается). Они всегда интересовали математиков, ведь именно простые числа составляют кирпичики, из которых построены все остальные числа — хорошо известно, что всякое число единственным образом разлагается в произведение простых чисел (необязательно попарно различных).

Самые естественные вопросы, возникающие в связи с этим у математиков, касаются строения множества простых чисел. Несмотря на то, что большинство таких вопросов, как правило, формулируется очень просто, ответы на них не просто сложны. Чаще всего они оказываются результатом целых теорий, которые, как водится, имеют кучу полезных приложений — от криптографии до квантовой механики, но создавались исключительно для того, чтобы ответить на эти самые вопросы.

Прежде всего возникает вопрос о том, конечно ли множество простых чисел. Ответ хорошо известен со школы: множество простых чисел бесконечно, и это легко доказать. Действительно, пусть это не так и множество простых чисел конечно. Обозначим эти числа через p1, p2, ... pn и рассмотрим число p1p2....pn + 1. Легко увидеть, что это число не делится ни на одно из перечисленных простых чисел, и, стало быть, среди его простых делителей есть числа, которые в наш список не попали. Это противоречие и завершает наше доказательство. Точнее, не наше, а Евклида, опубликованное в 9-м томе его «Начал».

Если простых чисел бесконечное множество, то возникает другой вопрос: как они расположены в ряду натуральных чисел? Нет ли для них, например, формулы? Выписывание первых нескольких чисел (скажем, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) совершенно не проясняет (по крайней мере автору) ситуацию. На настоящий момент известно несколько результатов, касающихся строения этого множества. Этим вопросом (о формуле) занимался Эйлер. Ему, например, принадлежит следующее наблюдение: квадратичный трехчлен n2 − n + 41 дает простые значения для всех натуральных n, не превосходящих 40. Быть может, тогда существует подходящая формула в виде многочлена? Легко доказывается, что такой формулы, конечно, нет. Впрочем, некоторое подобие формулы получить можно (см. врез выше).

Если эффективной формулы для множества простых чисел нет, то, решили математики, его следует изучать другими методами. Например, насколько редко могут быть расположены простые числа? Оказывается, последовательные отрезки числового ряда, не содержащие ни одного простого числа, могут быть сколь угодно длинными. Действительно, возьмем произвольное натуральное число n и рассмотрим отрезок натурального ряда вида (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, ..., (n + 1)! + n + 1. Каждое из представленных чисел составное: первое делится на 2, второе — на 3, третье — на 4 и так далее. Стало быть, простые числа могут быть сколь угодно «разреженными». Более того, можно сказать, что в некотором смысле расстояние между соседними простыми числами в среднем растет как log p.

Соответственно, возникает следующий вопрос: а какое минимальное расстояние может быть между двумя простыми числами? Пусть это расстояние 1, то есть числа p и p + 1 простые одновременно. Учитывая, что четные и нечетные числа в числовом ряду чередуются, получаем, что одно из этих чисел должно быть четным, то есть делиться на 2. Если учесть, что по нашему (сугубо техническому) соглашению 1 не является простым числом, то существует одна-единственная такая пара простых чисел — это 2 и 3. Следовательно, расстояние между любыми двумя соседними другими простыми числами — как минимум два. Простые числа, расстояние между которыми равно двум, и называются числами-близнецами.

Первые несколько пар чисел-близнецов легко перечислить — это (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) и так далее. Самая большая пара чисел-близнецов из известных на настоящий момент была открыта в декабре 2011 года в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid. Она имеет вид (3756801695685 · 2666669 — 1, 3756801695685 · 2666669 + 1). В десятичной записи каждого из этих чисел по 200700 знаков. Это, конечно, очень большие числа, и само их существование ставит такой вот вопрос: конечно ли множество чисел-близнецов? Этот вопрос, точнее предположение о бесконечности этого множества, и носит название «гипотезы о числах-близнецах». Тут важно понимать, что бесконечность множества чисел-близнецов ни в коем случае не противоречит утверждению о логарифмическом росте расстояний между простыми числами — рост просто означает, что исключений (не укладывающихся в общую тенденцию чисел) достаточно мало.

Довольно часто гипотезу о числах-близнецах приписывают Евклиду. Разумеется, такого рода утверждения были грекам по силам, однако убедительных подтверждений этого факта нет. Впервые в печатной литературе эта гипотеза была высказана в 1849 году Альфонсом де Полиньяком в более общем виде: для любого четного числа 2k множество таких соседних простых чисел (то есть между которыми нет других простых), чтобы расстояние между ними в точности равнялось 2k, бесконечно. При k = 1 получаем оригинальную формулировку. Что касается термина «числа-близнецы», то он был введен в обиход математиком Вигго Бруном. Брун изучал разного рода простые числа и в 1915 году доказал замечательную теорему, о которой, пожалуй, следует рассказать чуть более подробно.

Гармоническим рядом называется последовательность дробей 1/n. Известно, что, несмотря на убывание величин этой последовательности, сумма этого ряда бесконечно большая: то есть, для любого наперед заданного числа можно подобрать такое N, что сумма первых N членов гармонического ряда будет больше этого числа. При этом, если брать не все натуральные n, а только простые, то есть рассмотреть последовательность 1/pn, где pn — последовательно занумерованные простые числа, то сумма полученного ряда все равно будет бесконечно большой (еще математики говорят, что такой ряд расходится).

Брун решил рассмотреть последовательность, состоящую только из чисел-близнецов. Если бы такой ряд расходился, то из этого немедленно бы вытекало утверждение гипотезы о числах-близнецах — ясное дело, сумма конечного числа чисел не бесконечна. Однако, оказалось, что сумма полученного ряда не только конечна (математики в таком случае говорят, что ряд сходится), но и равна достаточно небольшому числу, известному как константа Бруна B2. Она примерно равна 1,902160583104. То есть теорема Бруна является еще одним подтверждением того, что пар чисел-близнецов по сравнению с остальными простыми числами немного.

Интерес Бруна к числам-близнецам был инспирирован, среди прочего, выступлением Эдмунда Ландау на Пятом Международном конгрессе математиков в 1912 году. Тогда Ландау сформулировал четыре задачи из теории чисел, решение которых, по его мнению, было недостижимо для математиков того времени. Гипотеза о числах-близнецах была одной из этих проблем. На самом деле за прошедшие 100 лет ситуация несколько изменилась, но только не для гипотезы о числах-близнецах (например, тринарная проблема Гольдбаха для достаточно больших чисел была решена в 1937 году Виноградовым). При этом большинство математиков уверены в истинности гипотезы о числах-близнецах. Например, самое свежее неправильное доказательство этого утверждения датируется 2004 годом.

Да что там гипотеза! До последнего времени не был понятен даже такой факт. Рассмотрим множество Mk из гипотезы Полиньяка соседних простых чисел, расстояние между которыми равно 2k. Бесконечно ли это множество хоть для какого-нибудь k? Лишь только теперь математик из США Итан Чжан показал, что для некоторого k, не превосходящего 35 миллионов, такое множество действительно бесконечно. На первый взгляд может показаться, что 35 миллионов от 1 (речь про k) очень уж далеки, но не для математики.

Итак, что же сделал Чжан? Он взял более раннюю работу своего коллеги и немного подправил функции, которые там фигурировали (более подробно доказательство изложено здесь). При этом, что особенно удивительно и что даже вызвало подозрения на первом этапе анализа доказательства, Чжан использовал уже существующую технику. В этом смысле его доказательство разительно отличается от, например, недавнего доказательства ABC-гипотезы Синити Мотидзуки (тоже, кстати, ключевой проблемы теории чисел, которую часто упоминают в одном ряду с гипотезой о числах-близнецах). Доказательство Мотидзуки занимает свыше 500 страниц и содержит целую теорию — с момента публикации прошло полгода, а результаты его проверки до сих пор неизвестны. Скорее всего, математики, занимающиеся этой самой проверкой, до сих пор не добрались до конца работы.

Статья Чжана, напротив, довольно проста. Более того, ее рецензенты из Annals of Mathematics — журнала, куда она была подана — заявили, что судя по всему работа верна. Главное, впрочем, даже не это — не исключено, что метод Чжана еще можно будет подправить, так что, возможно, значение k удастся уменьшить. Сам математик почти уверен, что до 1 дело не дойдет, но что можно «сбить» с 35 миллионов, он не сомневается.

Вместо заключения

Здесь, по хорошей традиции, автор должен попытаться ответить на вопрос пытливого читателя: «А зачем все это нужно?» В этот раз ответ будет в виде байки.

В 1994 году математик Томас Найсли вычислял константу Бруна. Делал он это грубой силой, то есть считая сумму дробей для пар чисел-близнецов. Когда дело дошло до пары (824 633 702 441, 824 633 702 443), в машинной выдаче обнаружились странности. В частности, суммы, посчитанные до добавления в сеть новых мощных машин на базе Pentium, отличались от цифр, полученных после. Проведя несколько испытаний, Найсли пришел к выводу, что в процессорах Intel имеется какой-то дефект в системе деления чисел с плавающей точкой. Несмотря на то, что неправильный результат в среднем выдавался в одном случае из 9 миллиардов, новость о наличии бага привела к тому, что в 1995 году корпорация Intel потратила 475 миллионов долларов на замену содержащих дефект процессоров. Такие дела.

подписатьсяОбсудить
00:01 19 сентября 2016
Готовящаяся к вспышке звезда Эта Киля в центре туманности Гомункул

Яркая смерть

Когда вспышка сверхновой уничтожит жизнь на Земле
Патруль на границеЯдерное обострение
Индия и Пакистан на пути к войне
«Роль России и США в Сирии сильно преувеличивают»
Василий Кузнецов о происходящем в Сирии и других странах Ближнего Востока
U.S. based cleric Fethullah Gulen at his home in Saylorsburg, Pennsylvania, U.S. July 29, 2016. REUTERS/Charles MostollerГидра Гюлена
Кого Эрдоган считает своим главным политическим противником
«Символ мощи и непредсказуемости — конечно же, медведь»
Турецкие эксперты объясняют, что их сограждане думают о России и русских
uly 25, 2016 - Philadelphia, Pennsylvania, U.S - The March For Our Lives heads down Broad St. towards the Democratic National Convention at the Wells Fargo Center. The march is in protest to the nomination of Hillary Clinton at the DNC and is made up of a coalition of Green Party activists, Bernie Sanders supporters, anarchists, socialists, and othersДругой альтернативы нет
Что предлагают независимые кандидаты в президенты США
Закат Атлантропы
Как немецкий архитектор хотел спасти белую расу
Корабль у Марса (в представлении художника)Прощай, Земля!
Илон Маск представил план колонизации Марса
Во всю дурь
Как метамфетамин стал залогом побед гитлеровской Германии
Башку с плеч!
Раскрыты подробности первой успешной операции по пересадке головы
Ехай прямо, навсегда
Какие сюрпризы приготовили главные гонки 2016 года
Rostov's Sardar Azmoun reacts leaving a pithc after the Champions League Group D soccer match between Rostov and PSV Eindhoven, in Rostov-on-Don, Southern Russia, Wednesday, Sept. 28, 2016. (AP Photo/Str)Дон, банан
Какое наказание грозит «Ростову» за расистскую выходку болельщиков
День за дном
Российские ЦСКА и «Ростов» после второго тура ЛЧ оказались на последних местах
Сэм ЭллардайсСтрасти по четвертой власти
Как журналисты уволили главного тренера футбольной сборной Англии
Кубок мира. Канада — Европа 2:1. Видеотрансляция «Ленты.ру»
Европейцам не удалось победить и сохранить шансы на титул
Не хочу учиться
11 показательных фильмов о детской и подростковой сексуальности
Свидетели эпох
В «Гараже» открывается выставка рисунков Гойи и Эйзенштейна
В меру своей испорченности
Общественный резонанс — благо, а не зло
«Люди не видят разницы между порнографией и искусством»
Галеристы и фотографы о закрытии выставки Стерджеса
«Бурлаки прорубили здесь стенку, чтобы достать утопленника»
Алексей Иванов и Екатерина Дементьева читают «Золото бунта»
Рожать нельзя помиловать
Как живет страна, где за аборт можно получить 10 лет тюрьмы
Шедевр под носом
Самые популярные фотографии Instagram за сентябрь
Джентльмен из песочницы
10 ярких поступков детей, поставивших на место знаменитостей и политиков
Богат бедняк мечтами
Фотопроект о реальности и фантазиях бездомных людей
Париж-2016
Репортаж с Парижского моторшоу: день первый
Великий увозитель
Все, что нужно знать о новом Land Rover Discovery, в 27 фотографиях
Лошади на литры
Самые вместительные машины с моторами мощностью 600 л.с. и больше
Народный успех
Как прошел первый сезон в РСКГ победителя третьего сезона «Народного пилота»
Стенка на стенку
Джоконда, покемон и Корлеоне с Чебурашкой — лучшее от уличных художников Москвы
«За годы ожидания мы выдохлись. Живем сейчас где попало»
История покупателей жилья, заселенных в недостроенные дома в Подмосковье
«Мне угрожали, обещали закатать в асфальт»
История валютной ипотечницы, которая прошла оба кризиса и ни о чем не пожалела
Что-то пошло не так
Как выглядят населенные насекомыми города, жизнь без неба и море над головой
Кто купил Америку
Десять человек, которым на самом деле принадлежат земли США