Патрик Глашке из Гейдельбергского университета (Германия) исследовал траектории, описываемые в плоскости центром тяжести таких предметов обихода, как кресло-качалка и игрушка-неваляшка. Оказалось, что траектории повторяют форму хорошо известных математике кривых — брахистохроны и таутохроны. Посвященный исследованию препринт опубликован на сайте arXiv.org. Об этом рассказывает «Лента.ру».
Ученого заинтересовало движение таких широко распространенных в быту предметов, как кресла-качалки и игрушки-неваляшки. Глашке вывел соответствующие многочленные уравнения и представил наглядные анимации кривых, описываемые центром масс тела при качании.
Задачу о брахистохроне впервые сформулировал в 1660 году швейцарский математик Иоганн Бернулли. Он предложил своим коллегам ответить на следующий вопрос: по какой кривой между двумя фиксированными положениями скатывается материальная точка (тело, размерами которого в условиях задачи можно пренебречь), если она находится в поле тяготения, трения нет, а время скатывания — минимально.
Ответ нашел в 1667 году британский физик Исаак Ньютон. Его решение послужило основой новой области математики — вариационного исчисления, определяющего экстремумы (минимумы и максимумы) функционалов, которые представляют собой не числовые значения функций, а собственно функции.
Брахистохрона — одна из таких функций. Это дуга циклоиды с вертикальной касательной к кривой в начальной точке скатывания. Задача решается на основе закона сохранения энергии и минимизации значения интеграла.
Циклоида — это кривая, описываемая точкой на ободе катящегося по прямой колеса. Таутохрона — частный случай брахистохроны, у которой начальная точка меняется, а время скатывания остается прежним.
Глашке описал движение центра тяжести для нескольких случаев. Они характеризовались тремя основными параметрами: минимальной высотой расположения центра масс (h), локальным радиусом кручения (r0) и безразмерным параметром η, связанным с h и квадратом радиуса инерции сечения. Центр масс на представленных анимациях отмечен черной точкой.
Изображение: arXiv.org
Изображение: arXiv.org
Изображение: arXiv.org
Изображение: arXiv.org
Изображение: arXiv.org
Изображение: arXiv.org
Изображение: arXiv.org