Архаичная геометрия природы

Фрактальный анализ помог обнаружить следы строительства древних пирамид

Немецкие геологи помогли археологам - используя фрактальный анализ, они смогли доказать, что в окрестностях Дахшура - некрополя фараонов Древнего и Среднего царств в Египте - люди в далеком прошлом вели активное строительство. Видимых глазу следов строений не осталось, но оказалось, что вмешательство человека в естественные процессы эрозии отпечаталось в самой структуре каналов. На первый взгляд это открытие может показаться экзотичным, но геометрические методы в геологии, даже такие, как фрактальный анализ, давно стали обычным делом.

Предки современных фракталов

В конце XIX века математики были озабочены вопросами, которые позже привели к возникновению топологии, законченной теории интегрирования и многим другим фундаментальным результатам. Тогда же зародились и первые предки фракталов, простейшим представителем которых можно считать канторово множество. Как это часто бывает, впервые этот объект появился в работе вовсе не Георга Кантора, а математика из Оксфорда Генри Смита в 1875 году. Вот как он сам описывал построение тогда еще безымянного объекта (pdf):

"Пусть дано некоторое целое число m. Разобьем отрезок от 0 до 1 на m равных частей и выкинем последний кусок (предлагается выкидывать интервал - то есть отрезок без граничных точек - прим. "Ленты.ру"). Затем оставшиеся m - 1 куска разобьем на m равных частей и из каждого снова выкинем по последнему. Продолжая так ad infinitum (то есть до бесконечности - прим. "Ленты.ру"), получим бесконечное число точек на отрезке."

Работа Смита прошла почти незамеченной специалистами и множество было переоткрыто уже немецким математиком Георгом Кантором в 1883 году. На самом деле само множество Кантор не строил, он строил функцию, которая позже получила название канторовой лестницы - важный пример в теории интегрирования (в определение которой вдаваться не будем). Более того, никакие отрезки Кантор не рассматривал - его подход был чисто арифметическим.

Он рассуждал следующим образом. Рассмотрим точки на отрезке от 0 до 1 в троичной системе счисления. Все числа в этой системе записываются "десятичной" дробью, в записи которой присутствуют только 0,1 и 2. Например, 0,13 равно 1/3 в десятичной и так далее. Канторовым множеством называется множество чисел, в записи которых фигурируют только 0 и 2. Оказывается, это почти то же самое, что делал Смит, только в его конструкции m должно быть равно трем и на каждом шаге следует выбрасывать не последний отрезок, а тот, что посередине.

Полученный объект обладает рядом удивительных свойств. Например, на первый взгляд может показаться, что в нем очень мало точек - скорее всего, только граничные точки выкидываемых отрезков. Однако, это не так. Например, точка 1/4 в троичной системе счисления записывается как 0,020202..., поэтому не является граничной, но в канторовом множестве лежит. Более того, самому Кантору удалось доказать, что точек в названном в честь него множестве очень много - столько же, сколько в целом отрезке (математики называют такие бесконечные множества "множествами континуальной мощности"). При этом, к слову, суммарная длина всех выкинутых из отрезка интервалов равна единице, то есть в ходе построения было выкинуто практически все - такие вот математические гримасы бесконечности.

После Кантора и Смита метод построения разных множеств и объектов при помощи бесконечного процесса стал довольно популярен. В 1904 году, например, швед Хегл Кох предложил конструкцию кривой, получившей позже название кривой Коха, или снежинки Коха. Возьмем равносторонний треугольник и разобьем каждую его сторону на три части. Серединные отрезки выкинем, заменив их "рогом", составленным из двух отрезков той же длины, что и выкинутый. Получаем многоугольник с 12-ю сторонами. На каждой из них снова проделаем такую же операцию. Действуя так ad infinitum, получим кривую с двумя замечательными свойствами - ни в какой точке у нее нет касательной, а ее длина равна бесконечности, при том что сама кривая за границы первоначального треугольника не сильно-то и вылезает. Более того, схема построения такова, что любой кусок этой кривой имеет бесконечную длину. Анимацию этого процесса можно посмотреть здесь.

Аналогичным образом строятся и многие другие объекты - например, салфетка Серпинского, кривая Пеано (она же кривая Гильберта) - кривая, которая так хитро изгибается (без самопересечений!), что застилает квадрат; губка Менгера; фрактал Теркотта, используемый при анализе механики разрушения, и многие другие.

Динамические системы и понятие фрактала

Перенесемся теперь из конца XIX века в середину XX-го. В это время вовсю идет становление совершенно новой для математики концепции численного эксперимента - благодаря появлению компьютеров самая теоретическая из наук получила в свое распоряжение мощный инструмент для экспериментов. Особенно активно новая концепция применяется в теории динамических систем.

Динамической системой в математике называют некоторое пространство, именуемое фазовым, каждая точка которого характеризует состояние системы. Кроме этого задан закон эволюции - правило, по которому система с течением времени меняет свое состояние. Подобного рода системы применяются, например, при изучении динамики популяций в биологии, генетике, механике, для моделирования работы электронных микросхем и много другого. Находят динамические системы применение и в геологии, например, для моделирования взаимного движения тектонических плит - плиты в этом случае рассматриваются как диски, между которыми есть сухое трение.

В конце 50-х годов прошлого века изучением такого рода систем с дискретным временем (то есть в которых переход от состояния к состоянию происходит шагами, а не непрерывно) с помощью численных экспериментов занимался Бенуа Мандельброт. Он рассматривал следующую простую нелинейную систему. В качестве фазового пространства бралась обычная плоскость (то есть состояние системы определялось точкой на плоскости) как множество комплексных чисел. Закон перехода от состояния к состоянию задавался правилом f(z) = z 2 + b. То есть, если в n-ый момент времени динамическая система была в состоянии zn, то в следующий момент она переходила в состояние zn + 1 = f (zn).

Относительно этой системы Мандельброт интересовался вопросом ограниченности траекторий. Под траекторией в данном случае следует понимать последовательность точек zn, которая, как следует из формул, однозначно определяется своим исходным состоянием z0. Ограниченность, в свою очередь, означает, что можно выбрать круг достаточно большого радиуса, из которого последовательность zn не выйдет ни при каком n. Вопрос ограниченности траекторий довольно естественный - в реальных механических системах бесконечный рост фазовых переменных ни к чему хорошему обычно не приводит.

Мандельброт интересовался ограниченностью вполне конкретной траектории, начинающейся в нуле z0 = 0 в зависимости от параметра b. С помощью компьютера он проводил численный эксперимент, и если за некоторое число шагов точка "убегала" достаточно далеко, то он полагал, что она убегает на бесконечность. В результате ему удалось нарисовать на плоскости множество таких b (пусть и примерно), для которых траектория нуля ограничена.

В 1977 Мандельброт выпустил книгу "Фрактальная геометрия природы", которая состояла преимущественно из таких вот сгенерированных на компьютере картинок для разного рода систем, и некоторого количества не слишком строгих с математической точки зрения рассуждений, призванных обосновать обывателю появление этих самых картинок. Именно в этой книге впервые появился термин фрактал.

Так как книжка носила, в целом, развлекательных характер, то сам термин фрактал не имеет строгого математического определения. Одним из наиболее распространенных вариантов, пусть и немного неформальным, является следующий: фракталом называется геометрическая фигура, имеющая достаточную степень самоподобия. Под самоподобием здесь понимается то, что какие-то составные части фигуры, будучи увеличенными, совпадают с исходным объектом. В каком-то смысле это определение является результатом банальной расшифровки самого названия: fractus по-латински означает дробный, а frangere - ломать.

С точки зрения такого определения канторово множество, о котором речь шла выше, является фракталом - если взять его половину, то есть точки, принадлежащие первому из двух оставшихся на первом шаге отрезков (или, что то же самое, точки в "десятичном" разложении которых первая после запятой цифра - ноль), а потом увеличить это множество в три раза, то получим исходное канторово множество. Этим же свойством обладают куски снежинки Коха, составные части салфетки Серпинского и остальные, упомянутые выше фракталы. Чуть менее очевидно, что этим свойством самоподобия обладает множество Мандельброта - но, как оказалось, так оно и есть.

Размерность и геология

Множество Мандельброта показывает, что фракталы естественным образом возникают в динамических системах. Именно через этот раздел математики и физики они попали в геологию. Однако прежде чем перейти к приложениям, нам потребуется один из основных инструментов фрактального анализа - размерность.

Размерность в топологии бывает самая разная. Простейшая - это так называемая топологическая размерность. Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что топологическая размерность точки равна нулю, прямой (отрезка) - единице, плоскости (плоской фигуры, например, круга) - двум, пространства - трем. Интуитивно понятно, что размерность, например, канторова множества равна нулю (не зря его еще называют канторовой пылью), кривых Коха и Пеано - единице и так далее.

Помимо топологической размерности, для фракталов определена так называемая фрактальная размерность. Представим, что у нас есть береговая линия, например, Великобритании, и мы хотим измерить ее протяженность. Логично для этого использовать линейку - то есть мы будем приближать сложную форму береговой линии к ломаной с одинаковыми звеньями. При попытке реальных измерений выяснится, что с уменьшением линейки длина береговой линии растет, причем растет экспоненциально (правда, до определенного момента)!

Это, конечно, удивительно, но с таким эффектом мы уже встречались - ломаные, которые мы строили для получения кривой Коха, можно считать приближениями конечного фрактала. Каждая ломаная имеет конечную длину, но можно показать, что с каждым шагом эта длина растет экспоненциально и неограниченно.

Теперь представим, что фрактал уменьшили в r раз. Сколько копий N уменьшенного фрактала потребуется, чтобы накрыть первоначальный объект? Оказывается, ответ на этот вопрос такой же, как и в случае с береговой линией, то есть связан с некоторой экспонентой: N примерно равно rD. Оказывается показатель D определяется однозначно и именно его называют фрактальной размерностью объекта. Соответственно более строгое определение фрактала звучит так: фрактал - это объект, топологическая размерность которого меньше фрактальной (это условие носит название неравенства Мандельброта). Для всех рассмотренных нами фракталов это условие выполнено. Например, фрактальная размерность канторова множества чуть больше 0,63, кривой Коха - больше 1,26, кривой Пеано - в точности 2 (из этого, кстати, следует, что довольно популярное определение фрактала как объекта дробной размерности не слишком удобно).

Однако, фрактальная размерность - это математическая абстракция, поэтому возникает вопрос, как ее вычислять на практике, для реальных объектов? Один метод (которым и ограничимся), оказывается, уже сформулирован - это метод Ричардсона, используемый для подсчета размерностей кривых, в том числе и береговых линий. Для того чтобы оценить размерность объекта, достаточно построить график зависимости логарифма полученной длины кривой от логарифма длины линейки. Например, вычисленная таким образом фрактальная размерность земных континентов и крупных островов составляет примерно 1,22.

Для чего нужна фрактальная размерность? Оказывается, она позволяет обнаружить совершенно неожиданные соотношения в природе. Например, площадь континента или крупного острова S соотносится с его периметром по формуле S примерно равно P2/D, где D - фрактальная размерность. Аналогичные соотношения существуют на массу и периметр, массу и диаметр и многие другие (хоть это и не имеет отношение к обсуждаемой теме, но можно упомянуть, что фрактальная размерность натурального пуха равна 1,6).

Некрополь и черновые пирамиды

Некоторое время назад в Quaternary International появилась статья немецких геологов. В этой работе они применили упомянутый выше фрактальный анализ в помощь археологам. Однако, обо всем поподробнее.

Дахшура - известная ныне на весь мир достопримечательность Египта к югу от Каира. В далеком прошлом это было священное место, некрополь - здесь хоронили правителей Древнего и Среднего царств примерно 4,5 тысячи лет назад. Согласно современным представлениям, именно здесь египтяне оттачивали навыки строительства пирамид - в Дахшуре сохранились пирамиды странных форм. Например, Ломаная пирамида Снофру - это пирамида, наклон сторон которой резко меняется на полпути к вершине.

Сам некрополь относительно небольшой - площадью 1,3 на 5 километров. За 4,5 тысячи лет следы людского вмешательства на этой территории почти полностью стерлись. Однако геологи предположили, что даже если видимых следов вмешательства не осталось, следы строительства, которое велось на территории некрополя, можно обнаружить в структуре рельефа и естественных водных каналов в регионе.

Для региона ученые вычисляли два параметра. Первый - это фрактальная размерность сети каналов. Известно, что такого рода сети (как и русла рек) являются в некотором смысле самоподобными деревьями, для которых фрактальная размерность больше топологической, которая в данном случае равна единице. Второй параметр был несколько хитрее - ученые брали компьютерную модель рельефа и считали ее фрактальную размерность. Они предположили, что, так как рельеф в этой местности формируется преимущественно под воздействием потоков воды, эти два параметра должны быть связаны, то есть коррелировать.

В результате ученым удалось обнаружить, что корреляция тем меньше, чем ближе к пирамидам. Из этого они заключили, что слабая взаимосвязь между этими двумя размерностями и есть показатель вмешательства в процесс человека, его след. Исследователям удалось даже оценить примерную площадь вмешательства - около 6 квадратных километров вокруг Дахшура. Скорее всего, пробное строительство велось во времена Сниферу - первого фараона IV династии и отца Хуфу (известного также как Хеопс), фараона, построившего самую известную из великих пирамид.

Сами исследователи пока аккуратно говорят о своем открытии - для того, чтобы убедиться, что человеческое вмешательство связано с корреляцией двух фрактальных размерностей, потребуется время. Однако если их результаты подтвердятся, археологи приобретут замечательный и совершенно неожиданный инструмент для поиска мест для будущих раскопок. И это будет здорово.

Наука и техника00:01 2 декабря

Точка невозврата

Ученый создал детей-мутантов втайне от всех. На него ополчился весь мир